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from __future__ import print_function, division 

 

import collections 

from sympy.core.add import Add 

from sympy.core.basic import Basic, Atom 

from sympy.core.expr import Expr 

from sympy.core.function import count_ops 

from sympy.core.logic import fuzzy_and 

from sympy.core.power import Pow 

from sympy.core.symbol import Symbol, Dummy, symbols 

from sympy.core.numbers import Integer, ilcm, Rational, Float 

from sympy.core.singleton import S 

from sympy.core.sympify import sympify 

from sympy.core.compatibility import is_sequence, default_sort_key, range, NotIterable 

 

from sympy.polys import PurePoly, roots, cancel, gcd 

from sympy.simplify import simplify as _simplify, signsimp, nsimplify 

from sympy.utilities.iterables import flatten, numbered_symbols 

from sympy.functions.elementary.miscellaneous import sqrt, Max, Min 

from sympy.functions import exp, factorial 

from sympy.printing import sstr 

from sympy.core.compatibility import reduce, as_int, string_types 

 

from types import FunctionType 

 

 

def _iszero(x): 

    """Returns True if x is zero.""" 

    return x.is_zero 

 

 

class MatrixError(Exception): 

    pass 

 

 

class ShapeError(ValueError, MatrixError): 

    """Wrong matrix shape""" 

    pass 

 

 

class NonSquareMatrixError(ShapeError): 

    pass 

 

 

class DeferredVector(Symbol, NotIterable): 

    """A vector whose components are deferred (e.g. for use with lambdify) 

 

    Examples 

    ======== 

 

    >>> from sympy import DeferredVector, lambdify 

    >>> X = DeferredVector( 'X' ) 

    >>> X 

    X 

    >>> expr = (X[0] + 2, X[2] + 3) 

    >>> func = lambdify( X, expr) 

    >>> func( [1, 2, 3] ) 

    (3, 6) 

    """ 

    def __getitem__(self, i): 

        if i == -0: 

            i = 0 

        if i < 0: 

            raise IndexError('DeferredVector index out of range') 

        component_name = '%s[%d]' % (self.name, i) 

        return Symbol(component_name) 

 

    def __str__(self): 

        return sstr(self) 

 

    def __repr__(self): 

        return "DeferredVector('%s')" % (self.name) 

 

 

class MatrixBase(object): 

 

    # Added just for numpy compatibility 

    __array_priority__ = 11 

 

    is_Matrix = True 

    is_Identity = None 

    _class_priority = 3 

    _sympify = staticmethod(sympify) 

 

    __hash__ = None # Mutable 

 

    @classmethod 

    def _handle_creation_inputs(cls, *args, **kwargs): 

        """Return the number of rows, cols and flat matrix elements. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, I 

 

        Matrix can be constructed as follows: 

 

        * from a nested list of iterables 

 

        >>> Matrix( ((1, 2+I), (3, 4)) ) 

        Matrix([ 

        [1, 2 + I], 

        [3,     4]]) 

 

        * from un-nested iterable (interpreted as a column) 

 

        >>> Matrix( [1, 2] ) 

        Matrix([ 

        [1], 

        [2]]) 

 

        * from un-nested iterable with dimensions 

 

        >>> Matrix(1, 2, [1, 2] ) 

        Matrix([[1, 2]]) 

 

        * from no arguments (a 0 x 0 matrix) 

 

        >>> Matrix() 

        Matrix(0, 0, []) 

 

        * from a rule 

 

        >>> Matrix(2, 2, lambda i, j: i/(j + 1) ) 

        Matrix([ 

        [0,   0], 

        [1, 1/2]]) 

 

        """ 

        from sympy.matrices.sparse import SparseMatrix 

 

        flat_list = None 

 

        if len(args) == 1: 

            # Matrix(SparseMatrix(...)) 

            if isinstance(args[0], SparseMatrix): 

                return args[0].rows, args[0].cols, flatten(args[0].tolist()) 

 

            # Matrix(Matrix(...)) 

            elif isinstance(args[0], MatrixBase): 

                return args[0].rows, args[0].cols, args[0]._mat 

 

            # Matrix(MatrixSymbol('X', 2, 2)) 

            elif isinstance(args[0], Basic) and args[0].is_Matrix: 

                return args[0].rows, args[0].cols, args[0].as_explicit()._mat 

 

            # Matrix(numpy.ones((2, 2))) 

            elif hasattr(args[0], "__array__"): 

                # NumPy array or matrix or some other object that implements 

                # __array__. So let's first use this method to get a 

                # numpy.array() and then make a python list out of it. 

                arr = args[0].__array__() 

                if len(arr.shape) == 2: 

                    rows, cols = arr.shape[0], arr.shape[1] 

                    flat_list = [cls._sympify(i) for i in arr.ravel()] 

                    return rows, cols, flat_list 

                elif len(arr.shape) == 1: 

                    rows, cols = arr.shape[0], 1 

                    flat_list = [S.Zero]*rows 

                    for i in range(len(arr)): 

                        flat_list[i] = cls._sympify(arr[i]) 

                    return rows, cols, flat_list 

                else: 

                    raise NotImplementedError( 

                        "SymPy supports just 1D and 2D matrices") 

 

            # Matrix([1, 2, 3]) or Matrix([[1, 2], [3, 4]]) 

            elif is_sequence(args[0])\ 

                    and not isinstance(args[0], DeferredVector): 

                in_mat = [] 

                ncol = set() 

                for row in args[0]: 

                    if isinstance(row, MatrixBase): 

                        in_mat.extend(row.tolist()) 

                        if row.cols or row.rows:  # only pay attention if it's not 0x0 

                            ncol.add(row.cols) 

                    else: 

                        in_mat.append(row) 

                        try: 

                            ncol.add(len(row)) 

                        except TypeError: 

                            ncol.add(1) 

                if len(ncol) > 1: 

                    raise ValueError("Got rows of variable lengths: %s" % 

                        sorted(list(ncol))) 

                cols = ncol.pop() if ncol else 0 

                rows = len(in_mat) if cols else 0 

                if rows: 

                    if not is_sequence(in_mat[0]): 

                        cols = 1 

                        flat_list = [cls._sympify(i) for i in in_mat] 

                        return rows, cols, flat_list 

                flat_list = [] 

                for j in range(rows): 

                    for i in range(cols): 

                        flat_list.append(cls._sympify(in_mat[j][i])) 

 

        elif len(args) == 3: 

            rows = as_int(args[0]) 

            cols = as_int(args[1]) 

 

            # Matrix(2, 2, lambda i, j: i+j) 

            if len(args) == 3 and isinstance(args[2], collections.Callable): 

                op = args[2] 

                flat_list = [] 

                for i in range(rows): 

                    flat_list.extend( 

                        [cls._sympify(op(cls._sympify(i), cls._sympify(j))) 

                        for j in range(cols)]) 

 

            # Matrix(2, 2, [1, 2, 3, 4]) 

            elif len(args) == 3 and is_sequence(args[2]): 

                flat_list = args[2] 

                if len(flat_list) != rows*cols: 

                    raise ValueError('List length should be equal to rows*columns') 

                flat_list = [cls._sympify(i) for i in flat_list] 

 

 

        # Matrix() 

        elif len(args) == 0: 

            # Empty Matrix 

            rows = cols = 0 

            flat_list = [] 

 

        if flat_list is None: 

            raise TypeError("Data type not understood") 

 

        return rows, cols, flat_list 

 

    def _setitem(self, key, value): 

        """Helper to set value at location given by key. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, I, zeros, ones 

        >>> m = Matrix(((1, 2+I), (3, 4))) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 2 + I], 

        [3,     4]]) 

        >>> m[1, 0] = 9 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 2 + I], 

        [9,     4]]) 

        >>> m[1, 0] = [[0, 1]] 

 

        To replace row r you assign to position r*m where m 

        is the number of columns: 

 

        >>> M = zeros(4) 

        >>> m = M.cols 

        >>> M[3*m] = ones(1, m)*2; M 

        Matrix([ 

        [0, 0, 0, 0], 

        [0, 0, 0, 0], 

        [0, 0, 0, 0], 

        [2, 2, 2, 2]]) 

 

        And to replace column c you can assign to position c: 

 

        >>> M[2] = ones(m, 1)*4; M 

        Matrix([ 

        [0, 0, 4, 0], 

        [0, 0, 4, 0], 

        [0, 0, 4, 0], 

        [2, 2, 4, 2]]) 

        """ 

        from .dense import Matrix 

 

        is_slice = isinstance(key, slice) 

        i, j = key = self.key2ij(key) 

        is_mat = isinstance(value, MatrixBase) 

        if type(i) is slice or type(j) is slice: 

            if is_mat: 

                self.copyin_matrix(key, value) 

                return 

            if not isinstance(value, Expr) and is_sequence(value): 

                self.copyin_list(key, value) 

                return 

            raise ValueError('unexpected value: %s' % value) 

        else: 

            if (not is_mat and 

                not isinstance(value, Basic) and is_sequence(value)): 

                value = Matrix(value) 

                is_mat = True 

            if is_mat: 

                if is_slice: 

                    key = (slice(*divmod(i, self.cols)), 

                           slice(*divmod(j, self.cols))) 

                else: 

                    key = (slice(i, i + value.rows), 

                           slice(j, j + value.cols)) 

                self.copyin_matrix(key, value) 

            else: 

                return i, j, self._sympify(value) 

            return 

 

    def copy(self): 

        return self._new(self.rows, self.cols, self._mat) 

 

    def trace(self): 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        return self._eval_trace() 

 

    def inv(self, method=None, **kwargs): 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if method is not None: 

            kwargs['method'] = method 

        return self._eval_inverse(**kwargs) 

 

    def inv_mod(self, m): 

        r""" 

        Returns the inverse of the matrix `K` (mod `m`), if it exists. 

 

        Method to find the matrix inverse of `K` (mod `m`) implemented in this function: 

 

        * Compute `\mathrm{adj}(K) = \mathrm{cof}(K)^t`, the adjoint matrix of `K`. 

 

        * Compute `r = 1/\mathrm{det}(K) \pmod m`. 

 

        * `K^{-1} = r\cdot \mathrm{adj}(K) \pmod m`. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> A = Matrix(2, 2, [1, 2, 3, 4]) 

        >>> A.inv_mod(5) 

        Matrix([ 

        [3, 1], 

        [4, 2]]) 

        >>> A.inv_mod(3) 

        Matrix([ 

        [1, 1], 

        [0, 1]]) 

 

        """ 

        from sympy.ntheory import totient 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        N = self.cols 

        phi = totient(m) 

        det_K = self.det() 

        if gcd(det_K, m) != 1: 

            raise ValueError('Matrix is not invertible (mod %d)' % m) 

        det_inv = pow(int(det_K), int(phi - 1), int(m)) 

        K_adj = self.cofactorMatrix().transpose() 

        K_inv = self.__class__(N, N, [det_inv*K_adj[i, j] % m for i in range(N) for j in range(N)]) 

        return K_inv 

 

    def transpose(self): 

        return self._eval_transpose() 

 

    T = property(transpose, None, None, "Matrix transposition.") 

 

    def conjugate(self): 

        return self._eval_conjugate() 

 

    C = property(conjugate, None, None, "By-element conjugation.") 

 

    def adjoint(self): 

        """Conjugate transpose or Hermitian conjugation.""" 

        return self.T.C 

 

    @property 

    def H(self): 

        """Return Hermite conjugate. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, I 

        >>> m = Matrix((0, 1 + I, 2, 3)) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [    0], 

        [1 + I], 

        [    2], 

        [    3]]) 

        >>> m.H 

        Matrix([[0, 1 - I, 2, 3]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        conjugate: By-element conjugation 

        D: Dirac conjugation 

        """ 

        return self.T.C 

 

    @property 

    def D(self): 

        """Return Dirac conjugate (if self.rows == 4). 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, I, eye 

        >>> m = Matrix((0, 1 + I, 2, 3)) 

        >>> m.D 

        Matrix([[0, 1 - I, -2, -3]]) 

        >>> m = (eye(4) + I*eye(4)) 

        >>> m[0, 3] = 2 

        >>> m.D 

        Matrix([ 

        [1 - I,     0,      0,      0], 

        [    0, 1 - I,      0,      0], 

        [    0,     0, -1 + I,      0], 

        [    2,     0,      0, -1 + I]]) 

 

        If the matrix does not have 4 rows an AttributeError will be raised 

        because this property is only defined for matrices with 4 rows. 

 

        >>> Matrix(eye(2)).D 

        Traceback (most recent call last): 

        ... 

        AttributeError: Matrix has no attribute D. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        conjugate: By-element conjugation 

        H: Hermite conjugation 

        """ 

        from sympy.physics.matrices import mgamma 

        if self.rows != 4: 

            # In Python 3.2, properties can only return an AttributeError 

            # so we can't raise a ShapeError -- see commit which added the 

            # first line of this inline comment. Also, there is no need 

            # for a message since MatrixBase will raise the AttributeError 

            raise AttributeError 

        return self.H*mgamma(0) 

 

    def __array__(self): 

        from .dense import matrix2numpy 

        return matrix2numpy(self) 

 

    def __len__(self): 

        """Return the number of elements of self. 

 

        Implemented mainly so bool(Matrix()) == False. 

        """ 

        return self.rows*self.cols 

 

    @property 

    def shape(self): 

        """The shape (dimensions) of the matrix as the 2-tuple (rows, cols). 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import zeros 

        >>> M = zeros(2, 3) 

        >>> M.shape 

        (2, 3) 

        >>> M.rows 

        2 

        >>> M.cols 

        3 

        """ 

        return (self.rows, self.cols) 

 

    def __sub__(self, a): 

        return self + (-a) 

 

    def __rsub__(self, a): 

        return (-self) + a 

 

    def __mul__(self, other): 

        """Return self*other where other is either a scalar or a matrix 

        of compatible dimensions. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> A = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) 

        >>> 2*A == A*2 == Matrix([[2, 4, 6], [8, 10, 12]]) 

        True 

        >>> B = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 

        >>> A*B 

        Matrix([ 

        [30, 36, 42], 

        [66, 81, 96]]) 

        >>> B*A 

        Traceback (most recent call last): 

        ... 

        ShapeError: Matrices size mismatch. 

        >>> 

 

        See Also 

        ======== 

 

        matrix_multiply_elementwise 

        """ 

        if getattr(other, 'is_Matrix', False): 

            A = self 

            B = other 

            if A.cols != B.rows: 

                raise ShapeError("Matrices size mismatch.") 

            if A.cols == 0: 

                return classof(A, B)._new(A.rows, B.cols, lambda i, j: 0) 

            blst = B.T.tolist() 

            alst = A.tolist() 

            return classof(A, B)._new(A.rows, B.cols, lambda i, j: 

                reduce(lambda k, l: k + l, 

                    [a_ik * b_kj for a_ik, b_kj in zip(alst[i], blst[j])])) 

        else: 

            return self._new(self.rows, self.cols, 

                [i*other for i in self._mat]) 

 

    def __rmul__(self, a): 

        if getattr(a, 'is_Matrix', False): 

            return self._new(a)*self 

        return self*a 

 

    def __pow__(self, num): 

        from sympy.matrices import eye 

 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if isinstance(num, int) or isinstance(num, Integer): 

            n = int(num) 

            if n < 0: 

                return self.inv()**-n   # A**-2 = (A**-1)**2 

            a = eye(self.cols) 

            s = self 

            while n: 

                if n % 2: 

                    a *= s 

                    n -= 1 

                if not n: 

                    break 

                s *= s 

                n //= 2 

            return self._new(a) 

        elif isinstance(num, Rational): 

            try: 

                P, D = self.diagonalize() 

            except MatrixError: 

                raise NotImplementedError( 

                    "Implemented only for diagonalizable matrices") 

            for i in range(D.rows): 

                D[i, i] = D[i, i]**num 

            return self._new(P*D*P.inv()) 

        else: 

            raise NotImplementedError( 

                "Only integer and rational values are supported") 

 

    def __add__(self, other): 

        """Return self + other, raising ShapeError if shapes don't match.""" 

        if getattr(other, 'is_Matrix', False): 

            A = self 

            B = other 

            if A.shape != B.shape: 

                raise ShapeError("Matrix size mismatch.") 

            alst = A.tolist() 

            blst = B.tolist() 

            ret = [S.Zero]*A.rows 

            for i in range(A.shape[0]): 

                ret[i] = [j + k for j, k in zip(alst[i], blst[i])] 

            rv = classof(A, B)._new(ret) 

            if 0 in A.shape: 

                rv = rv.reshape(*A.shape) 

            return rv 

        raise TypeError('cannot add matrix and %s' % type(other)) 

 

    def __radd__(self, other): 

        return self + other 

 

    def __div__(self, other): 

        return self*(S.One / other) 

 

    def __truediv__(self, other): 

        return self.__div__(other) 

 

    def __neg__(self): 

        return -1*self 

 

    def multiply(self, b): 

        """Returns self*b 

 

        See Also 

        ======== 

 

        dot 

        cross 

        multiply_elementwise 

        """ 

        return self*b 

 

    def add(self, b): 

        """Return self + b """ 

        return self + b 

 

    def table(self, printer, rowstart='[', rowend=']', rowsep='\n', 

              colsep=', ', align='right'): 

        r""" 

        String form of Matrix as a table. 

 

        ``printer`` is the printer to use for on the elements (generally 

        something like StrPrinter()) 

 

        ``rowstart`` is the string used to start each row (by default '['). 

 

        ``rowend`` is the string used to end each row (by default ']'). 

 

        ``rowsep`` is the string used to separate rows (by default a newline). 

 

        ``colsep`` is the string used to separate columns (by default ', '). 

 

        ``align`` defines how the elements are aligned. Must be one of 'left', 

        'right', or 'center'.  You can also use '<', '>', and '^' to mean the 

        same thing, respectively. 

 

        This is used by the string printer for Matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> from sympy.printing.str import StrPrinter 

        >>> M = Matrix([[1, 2], [-33, 4]]) 

        >>> printer = StrPrinter() 

        >>> M.table(printer) 

        '[  1, 2]\n[-33, 4]' 

        >>> print(M.table(printer)) 

        [  1, 2] 

        [-33, 4] 

        >>> print(M.table(printer, rowsep=',\n')) 

        [  1, 2], 

        [-33, 4] 

        >>> print('[%s]' % M.table(printer, rowsep=',\n')) 

        [[  1, 2], 

        [-33, 4]] 

        >>> print(M.table(printer, colsep=' ')) 

        [  1 2] 

        [-33 4] 

        >>> print(M.table(printer, align='center')) 

        [ 1 , 2] 

        [-33, 4] 

        >>> print(M.table(printer, rowstart='{', rowend='}')) 

        {  1, 2} 

        {-33, 4} 

        """ 

        # Handle zero dimensions: 

        if self.rows == 0 or self.cols == 0: 

            return '[]' 

        # Build table of string representations of the elements 

        res = [] 

        # Track per-column max lengths for pretty alignment 

        maxlen = [0] * self.cols 

        for i in range(self.rows): 

            res.append([]) 

            for j in range(self.cols): 

                s = printer._print(self[i,j]) 

                res[-1].append(s) 

                maxlen[j] = max(len(s), maxlen[j]) 

        # Patch strings together 

        align = { 

            'left': 'ljust', 

            'right': 'rjust', 

            'center': 'center', 

            '<': 'ljust', 

            '>': 'rjust', 

            '^': 'center', 

            }[align] 

        for i, row in enumerate(res): 

            for j, elem in enumerate(row): 

                row[j] = getattr(elem, align)(maxlen[j]) 

            res[i] = rowstart + colsep.join(row) + rowend 

        return rowsep.join(res) 

 

    def _format_str(self, printer=None): 

        if not printer: 

            from sympy.printing.str import StrPrinter 

            printer = StrPrinter() 

        # Handle zero dimensions: 

        if self.rows == 0 or self.cols == 0: 

            return 'Matrix(%s, %s, [])' % (self.rows, self.cols) 

        if self.rows == 1: 

            return "Matrix([%s])" % self.table(printer, rowsep=',\n') 

        return "Matrix([\n%s])" % self.table(printer, rowsep=',\n') 

 

    def __str__(self): 

        if self.rows == 0 or self.cols == 0: 

            return 'Matrix(%s, %s, [])' % (self.rows, self.cols) 

        return "Matrix(%s)" % str(self.tolist()) 

 

    def __repr__(self): 

        return sstr(self) 

 

    def cholesky(self): 

        """Returns the Cholesky decomposition L of a matrix A 

        such that L * L.T = A 

 

        A must be a square, symmetric, positive-definite 

        and non-singular matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> A = Matrix(((25, 15, -5), (15, 18, 0), (-5, 0, 11))) 

        >>> A.cholesky() 

        Matrix([ 

        [ 5, 0, 0], 

        [ 3, 3, 0], 

        [-1, 1, 3]]) 

        >>> A.cholesky() * A.cholesky().T 

        Matrix([ 

        [25, 15, -5], 

        [15, 18,  0], 

        [-5,  0, 11]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        LDLdecomposition 

        LUdecomposition 

        QRdecomposition 

        """ 

 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("Matrix must be square.") 

        if not self.is_symmetric(): 

            raise ValueError("Matrix must be symmetric.") 

        return self._cholesky() 

 

    def LDLdecomposition(self): 

        """Returns the LDL Decomposition (L, D) of matrix A, 

        such that L * D * L.T == A 

        This method eliminates the use of square root. 

        Further this ensures that all the diagonal entries of L are 1. 

        A must be a square, symmetric, positive-definite 

        and non-singular matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix, eye 

        >>> A = Matrix(((25, 15, -5), (15, 18, 0), (-5, 0, 11))) 

        >>> L, D = A.LDLdecomposition() 

        >>> L 

        Matrix([ 

        [   1,   0, 0], 

        [ 3/5,   1, 0], 

        [-1/5, 1/3, 1]]) 

        >>> D 

        Matrix([ 

        [25, 0, 0], 

        [ 0, 9, 0], 

        [ 0, 0, 9]]) 

        >>> L * D * L.T * A.inv() == eye(A.rows) 

        True 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cholesky 

        LUdecomposition 

        QRdecomposition 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("Matrix must be square.") 

        if not self.is_symmetric(): 

            raise ValueError("Matrix must be symmetric.") 

        return self._LDLdecomposition() 

 

    def lower_triangular_solve(self, rhs): 

        """Solves Ax = B, where A is a lower triangular matrix. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        upper_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        cholesky_solve 

        diagonal_solve 

        LDLsolve 

        LUsolve 

        QRsolve 

        pinv_solve 

        """ 

 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("Matrix must be square.") 

        if rhs.rows != self.rows: 

            raise ShapeError("Matrices size mismatch.") 

        if not self.is_lower: 

            raise ValueError("Matrix must be lower triangular.") 

        return self._lower_triangular_solve(rhs) 

 

    def upper_triangular_solve(self, rhs): 

        """Solves Ax = B, where A is an upper triangular matrix. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        lower_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        cholesky_solve 

        diagonal_solve 

        LDLsolve 

        LUsolve 

        QRsolve 

        pinv_solve 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("Matrix must be square.") 

        if rhs.rows != self.rows: 

            raise TypeError("Matrix size mismatch.") 

        if not self.is_upper: 

            raise TypeError("Matrix is not upper triangular.") 

        return self._upper_triangular_solve(rhs) 

 

    def cholesky_solve(self, rhs): 

        """Solves Ax = B using Cholesky decomposition, 

        for a general square non-singular matrix. 

        For a non-square matrix with rows > cols, 

        the least squares solution is returned. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        lower_triangular_solve 

        upper_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        diagonal_solve 

        LDLsolve 

        LUsolve 

        QRsolve 

        pinv_solve 

        """ 

        if self.is_symmetric(): 

            L = self._cholesky() 

        elif self.rows >= self.cols: 

            L = (self.T*self)._cholesky() 

            rhs = self.T*rhs 

        else: 

            raise NotImplementedError('Under-determined System. ' 

                                      'Try M.gauss_jordan_solve(rhs)') 

        Y = L._lower_triangular_solve(rhs) 

        return (L.T)._upper_triangular_solve(Y) 

 

    def diagonal_solve(self, rhs): 

        """Solves Ax = B efficiently, where A is a diagonal Matrix, 

        with non-zero diagonal entries. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix, eye 

        >>> A = eye(2)*2 

        >>> B = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) 

        >>> A.diagonal_solve(B) == B/2 

        True 

 

        See Also 

        ======== 

 

        lower_triangular_solve 

        upper_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        cholesky_solve 

        LDLsolve 

        LUsolve 

        QRsolve 

        pinv_solve 

        """ 

        if not self.is_diagonal: 

            raise TypeError("Matrix should be diagonal") 

        if rhs.rows != self.rows: 

            raise TypeError("Size mis-match") 

        return self._diagonal_solve(rhs) 

 

    def LDLsolve(self, rhs): 

        """Solves Ax = B using LDL decomposition, 

        for a general square and non-singular matrix. 

 

        For a non-square matrix with rows > cols, 

        the least squares solution is returned. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix, eye 

        >>> A = eye(2)*2 

        >>> B = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) 

        >>> A.LDLsolve(B) == B/2 

        True 

 

        See Also 

        ======== 

 

        LDLdecomposition 

        lower_triangular_solve 

        upper_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        cholesky_solve 

        diagonal_solve 

        LUsolve 

        QRsolve 

        pinv_solve 

        """ 

        if self.is_symmetric(): 

            L, D = self.LDLdecomposition() 

        elif self.rows >= self.cols: 

            L, D = (self.T*self).LDLdecomposition() 

            rhs = self.T*rhs 

        else: 

            raise NotImplementedError('Under-determined System. ' 

                                      'Try M.gauss_jordan_solve(rhs)') 

        Y = L._lower_triangular_solve(rhs) 

        Z = D._diagonal_solve(Y) 

        return (L.T)._upper_triangular_solve(Z) 

 

    def solve_least_squares(self, rhs, method='CH'): 

        """Return the least-square fit to the data. 

 

        By default the cholesky_solve routine is used (method='CH'); other 

        methods of matrix inversion can be used. To find out which are 

        available, see the docstring of the .inv() method. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix, ones 

        >>> A = Matrix([1, 2, 3]) 

        >>> B = Matrix([2, 3, 4]) 

        >>> S = Matrix(A.row_join(B)) 

        >>> S 

        Matrix([ 

        [1, 2], 

        [2, 3], 

        [3, 4]]) 

 

        If each line of S represent coefficients of Ax + By 

        and x and y are [2, 3] then S*xy is: 

 

        >>> r = S*Matrix([2, 3]); r 

        Matrix([ 

        [ 8], 

        [13], 

        [18]]) 

 

        But let's add 1 to the middle value and then solve for the 

        least-squares value of xy: 

 

        >>> xy = S.solve_least_squares(Matrix([8, 14, 18])); xy 

        Matrix([ 

        [ 5/3], 

        [10/3]]) 

 

        The error is given by S*xy - r: 

 

        >>> S*xy - r 

        Matrix([ 

        [1/3], 

        [1/3], 

        [1/3]]) 

        >>> _.norm().n(2) 

        0.58 

 

        If a different xy is used, the norm will be higher: 

 

        >>> xy += ones(2, 1)/10 

        >>> (S*xy - r).norm().n(2) 

        1.5 

 

        """ 

        if method == 'CH': 

            return self.cholesky_solve(rhs) 

        t = self.T 

        return (t*self).inv(method=method)*t*rhs 

 

    def solve(self, rhs, method='GE'): 

        """Return solution to self*soln = rhs using given inversion method. 

 

        For a list of possible inversion methods, see the .inv() docstring. 

        """ 

        if not self.is_square: 

            if self.rows < self.cols: 

                raise ValueError('Under-determined system. ' 

                                 'Try M.gauss_jordan_solve(rhs)') 

            elif self.rows > self.cols: 

                raise ValueError('For over-determined system, M, having ' 

                    'more rows than columns, try M.solve_least_squares(rhs).') 

        else: 

            return self.inv(method=method)*rhs 

 

    def __mathml__(self): 

        mml = "" 

        for i in range(self.rows): 

            mml += "<matrixrow>" 

            for j in range(self.cols): 

                mml += self[i, j].__mathml__() 

            mml += "</matrixrow>" 

        return "<matrix>" + mml + "</matrix>" 

 

    def extract(self, rowsList, colsList): 

        """Return a submatrix by specifying a list of rows and columns. 

        Negative indices can be given. All indices must be in the range 

        -n <= i < n where n is the number of rows or columns. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(4, 3, range(12)) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0,  1,  2], 

        [3,  4,  5], 

        [6,  7,  8], 

        [9, 10, 11]]) 

        >>> m.extract([0, 1, 3], [0, 1]) 

        Matrix([ 

        [0,  1], 

        [3,  4], 

        [9, 10]]) 

 

        Rows or columns can be repeated: 

 

        >>> m.extract([0, 0, 1], [-1]) 

        Matrix([ 

        [2], 

        [2], 

        [5]]) 

 

        Every other row can be taken by using range to provide the indices: 

 

        >>> m.extract(range(0, m.rows, 2), [-1]) 

        Matrix([ 

        [2], 

        [8]]) 

 

        """ 

        cols = self.cols 

        flat_list = self._mat 

        rowsList = [a2idx(k, self.rows) for k in rowsList] 

        colsList = [a2idx(k, self.cols) for k in colsList] 

        return self._new(len(rowsList), len(colsList), 

                lambda i, j: flat_list[rowsList[i]*cols + colsList[j]]) 

 

    def key2bounds(self, keys): 

        """Converts a key with potentially mixed types of keys (integer and slice) 

        into a tuple of ranges and raises an error if any index is out of self's 

        range. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        key2ij 

        """ 

 

        islice, jslice = [isinstance(k, slice) for k in keys] 

        if islice: 

            if not self.rows: 

                rlo = rhi = 0 

            else: 

                rlo, rhi = keys[0].indices(self.rows)[:2] 

        else: 

            rlo = a2idx(keys[0], self.rows) 

            rhi = rlo + 1 

        if jslice: 

            if not self.cols: 

                clo = chi = 0 

            else: 

                clo, chi = keys[1].indices(self.cols)[:2] 

        else: 

            clo = a2idx(keys[1], self.cols) 

            chi = clo + 1 

        return rlo, rhi, clo, chi 

 

    def key2ij(self, key): 

        """Converts key into canonical form, converting integers or indexable 

        items into valid integers for self's range or returning slices 

        unchanged. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        key2bounds 

        """ 

        if is_sequence(key): 

            if not len(key) == 2: 

                raise TypeError('key must be a sequence of length 2') 

            return [a2idx(i, n) if not isinstance(i, slice) else i 

                for i, n in zip(key, self.shape)] 

        elif isinstance(key, slice): 

            return key.indices(len(self))[:2] 

        else: 

            return divmod(a2idx(key, len(self)), self.cols) 

 

    def evalf(self, prec=None, **options): 

        """Apply evalf() to each element of self.""" 

        return self.applyfunc(lambda i: i.evalf(prec, **options)) 

 

    n = evalf 

 

    def atoms(self, *types): 

        """Returns the atoms that form the current object. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> Matrix([[x]]) 

        Matrix([[x]]) 

        >>> _.atoms() 

        set([x]) 

        """ 

 

        if types: 

            types = tuple( 

                [t if isinstance(t, type) else type(t) for t in types]) 

        else: 

            types = (Atom,) 

        result = set() 

        for i in self: 

            result.update( i.atoms(*types) ) 

        return result 

 

    @property 

    def free_symbols(self): 

        """Returns the free symbols within the matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.abc import x 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> Matrix([[x], [1]]).free_symbols 

        set([x]) 

        """ 

 

        return set().union(*[i.free_symbols for i in self]) 

 

    def subs(self, *args, **kwargs):  # should mirror core.basic.subs 

        """Return a new matrix with subs applied to each entry. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> from sympy.matrices import SparseMatrix, Matrix 

        >>> SparseMatrix(1, 1, [x]) 

        Matrix([[x]]) 

        >>> _.subs(x, y) 

        Matrix([[y]]) 

        >>> Matrix(_).subs(y, x) 

        Matrix([[x]]) 

        """ 

        return self.applyfunc(lambda x: x.subs(*args, **kwargs)) 

 

    def expand(self, deep=True, modulus=None, power_base=True, power_exp=True, 

            mul=True, log=True, multinomial=True, basic=True, **hints): 

        """Apply core.function.expand to each entry of the matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.abc import x 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> Matrix(1, 1, [x*(x+1)]) 

        Matrix([[x*(x + 1)]]) 

        >>> _.expand() 

        Matrix([[x**2 + x]]) 

 

        """ 

        return self.applyfunc(lambda x: x.expand( 

                              deep, modulus, power_base, power_exp, mul, log, multinomial, basic, 

        **hints)) 

 

    def simplify(self, ratio=1.7, measure=count_ops): 

        """Apply simplify to each element of the matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> from sympy import sin, cos 

        >>> from sympy.matrices import SparseMatrix 

        >>> SparseMatrix(1, 1, [x*sin(y)**2 + x*cos(y)**2]) 

        Matrix([[x*sin(y)**2 + x*cos(y)**2]]) 

        >>> _.simplify() 

        Matrix([[x]]) 

        """ 

        return self.applyfunc(lambda x: x.simplify(ratio, measure)) 

    _eval_simplify = simplify 

 

    def doit(self, **kwargs): 

        return self._new(self.rows, self.cols, [i.doit() for i in self._mat]) 

 

    def print_nonzero(self, symb="X"): 

        """Shows location of non-zero entries for fast shape lookup. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix, eye 

        >>> m = Matrix(2, 3, lambda i, j: i*3+j) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0, 1, 2], 

        [3, 4, 5]]) 

        >>> m.print_nonzero() 

        [ XX] 

        [XXX] 

        >>> m = eye(4) 

        >>> m.print_nonzero("x") 

        [x   ] 

        [ x  ] 

        [  x ] 

        [   x] 

 

        """ 

        s = [] 

        for i in range(self.rows): 

            line = [] 

            for j in range(self.cols): 

                if self[i, j] == 0: 

                    line.append(" ") 

                else: 

                    line.append(str(symb)) 

            s.append("[%s]" % ''.join(line)) 

        print('\n'.join(s)) 

 

    def LUsolve(self, rhs, iszerofunc=_iszero): 

        """Solve the linear system Ax = rhs for x where A = self. 

 

        This is for symbolic matrices, for real or complex ones use 

        mpmath.lu_solve or mpmath.qr_solve. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        lower_triangular_solve 

        upper_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        cholesky_solve 

        diagonal_solve 

        LDLsolve 

        QRsolve 

        pinv_solve 

        LUdecomposition 

        """ 

        if rhs.rows != self.rows: 

            raise ShapeError("`self` and `rhs` must have the same number of rows.") 

 

        A, perm = self.LUdecomposition_Simple(iszerofunc=_iszero) 

        n = self.rows 

        b = rhs.permuteFwd(perm).as_mutable() 

        # forward substitution, all diag entries are scaled to 1 

        for i in range(n): 

            for j in range(i): 

                scale = A[i, j] 

                b.zip_row_op(i, j, lambda x, y: x - y*scale) 

        # backward substitution 

        for i in range(n - 1, -1, -1): 

            for j in range(i + 1, n): 

                scale = A[i, j] 

                b.zip_row_op(i, j, lambda x, y: x - y*scale) 

            scale = A[i, i] 

            b.row_op(i, lambda x, _: x/scale) 

        return rhs.__class__(b) 

 

    def LUdecomposition(self, iszerofunc=_iszero): 

        """Returns the decomposition LU and the row swaps p. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> a = Matrix([[4, 3], [6, 3]]) 

        >>> L, U, _ = a.LUdecomposition() 

        >>> L 

        Matrix([ 

        [  1, 0], 

        [3/2, 1]]) 

        >>> U 

        Matrix([ 

        [4,    3], 

        [0, -3/2]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cholesky 

        LDLdecomposition 

        QRdecomposition 

        LUdecomposition_Simple 

        LUdecompositionFF 

        LUsolve 

        """ 

        combined, p = self.LUdecomposition_Simple(iszerofunc=_iszero) 

        L = self.zeros(self.rows) 

        U = self.zeros(self.rows) 

        for i in range(self.rows): 

            for j in range(self.rows): 

                if i > j: 

                    L[i, j] = combined[i, j] 

                else: 

                    if i == j: 

                        L[i, i] = 1 

                    U[i, j] = combined[i, j] 

        return L, U, p 

 

    def LUdecomposition_Simple(self, iszerofunc=_iszero): 

        """Returns A comprised of L, U (L's diag entries are 1) and 

        p which is the list of the row swaps (in order). 

 

        See Also 

        ======== 

 

        LUdecomposition 

        LUdecompositionFF 

        LUsolve 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("A Matrix must be square to apply LUdecomposition_Simple().") 

        n = self.rows 

        A = self.as_mutable() 

        p = [] 

        # factorization 

        for j in range(n): 

            for i in range(j): 

                for k in range(i): 

                    A[i, j] = A[i, j] - A[i, k]*A[k, j] 

            pivot = -1 

            for i in range(j, n): 

                for k in range(j): 

                    A[i, j] = A[i, j] - A[i, k]*A[k, j] 

                # find the first non-zero pivot, includes any expression 

                if pivot == -1 and not iszerofunc(A[i, j]): 

                    pivot = i 

            if pivot < 0: 

                # this result is based on iszerofunc's analysis of the possible pivots, so even though 

                # the element may not be strictly zero, the supplied iszerofunc's evaluation gave True 

                raise ValueError("No nonzero pivot found; inversion failed.") 

            if pivot != j:  # row must be swapped 

                A.row_swap(pivot, j) 

                p.append([pivot, j]) 

            scale = 1 / A[j, j] 

            for i in range(j + 1, n): 

                A[i, j] = A[i, j]*scale 

        return A, p 

 

    def LUdecompositionFF(self): 

        """Compute a fraction-free LU decomposition. 

 

        Returns 4 matrices P, L, D, U such that PA = L D**-1 U. 

        If the elements of the matrix belong to some integral domain I, then all 

        elements of L, D and U are guaranteed to belong to I. 

 

        **Reference** 

            - W. Zhou & D.J. Jeffrey, "Fraction-free matrix factors: new forms 

              for LU and QR factors". Frontiers in Computer Science in China, 

              Vol 2, no. 1, pp. 67-80, 2008. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        LUdecomposition 

        LUdecomposition_Simple 

        LUsolve 

        """ 

        from sympy.matrices import SparseMatrix 

        zeros = SparseMatrix.zeros 

        eye = SparseMatrix.eye 

 

        n, m = self.rows, self.cols 

        U, L, P = self.as_mutable(), eye(n), eye(n) 

        DD = zeros(n, n) 

        oldpivot = 1 

 

        for k in range(n - 1): 

            if U[k, k] == 0: 

                for kpivot in range(k + 1, n): 

                    if U[kpivot, k]: 

                        break 

                else: 

                    raise ValueError("Matrix is not full rank") 

                U[k, k:], U[kpivot, k:] = U[kpivot, k:], U[k, k:] 

                L[k, :k], L[kpivot, :k] = L[kpivot, :k], L[k, :k] 

                P[k, :], P[kpivot, :] = P[kpivot, :], P[k, :] 

            L[k, k] = Ukk = U[k, k] 

            DD[k, k] = oldpivot*Ukk 

            for i in range(k + 1, n): 

                L[i, k] = Uik = U[i, k] 

                for j in range(k + 1, m): 

                    U[i, j] = (Ukk*U[i, j] - U[k, j]*Uik) / oldpivot 

                U[i, k] = 0 

            oldpivot = Ukk 

        DD[n - 1, n - 1] = oldpivot 

        return P, L, DD, U 

 

    def cofactorMatrix(self, method="berkowitz"): 

        """Return a matrix containing the cofactor of each element. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cofactor 

        minorEntry 

        minorMatrix 

        adjugate 

        """ 

        out = self._new(self.rows, self.cols, lambda i, j: 

                self.cofactor(i, j, method)) 

        return out 

 

    def minorEntry(self, i, j, method="berkowitz"): 

        """Calculate the minor of an element. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        minorMatrix 

        cofactor 

        cofactorMatrix 

        """ 

        if not 0 <= i < self.rows or not 0 <= j < self.cols: 

            raise ValueError("`i` and `j` must satisfy 0 <= i < `self.rows` " + 

                "(%d)" % self.rows + "and 0 <= j < `self.cols` (%d)." % self.cols) 

        return self.minorMatrix(i, j).det(method) 

 

    def minorMatrix(self, i, j): 

        """Creates the minor matrix of a given element. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        minorEntry 

        cofactor 

        cofactorMatrix 

        """ 

        if not 0 <= i < self.rows or not 0 <= j < self.cols: 

            raise ValueError("`i` and `j` must satisfy 0 <= i < `self.rows` " + 

                "(%d)" % self.rows + "and 0 <= j < `self.cols` (%d)." % self.cols) 

        M = self.as_mutable() 

        M.row_del(i) 

        M.col_del(j) 

        return self._new(M) 

 

    def cofactor(self, i, j, method="berkowitz"): 

        """Calculate the cofactor of an element. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cofactorMatrix 

        minorEntry 

        minorMatrix 

        """ 

        if (i + j) % 2 == 0: 

            return self.minorEntry(i, j, method) 

        else: 

            return -1*self.minorEntry(i, j, method) 

 

    def jacobian(self, X): 

        """Calculates the Jacobian matrix (derivative of a vectorial function). 

 

        Parameters 

        ========== 

 

        self : vector of expressions representing functions f_i(x_1, ..., x_n). 

        X : set of x_i's in order, it can be a list or a Matrix 

 

        Both self and X can be a row or a column matrix in any order 

        (i.e., jacobian() should always work). 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import sin, cos, Matrix 

        >>> from sympy.abc import rho, phi 

        >>> X = Matrix([rho*cos(phi), rho*sin(phi), rho**2]) 

        >>> Y = Matrix([rho, phi]) 

        >>> X.jacobian(Y) 

        Matrix([ 

        [cos(phi), -rho*sin(phi)], 

        [sin(phi),  rho*cos(phi)], 

        [   2*rho,             0]]) 

        >>> X = Matrix([rho*cos(phi), rho*sin(phi)]) 

        >>> X.jacobian(Y) 

        Matrix([ 

        [cos(phi), -rho*sin(phi)], 

        [sin(phi),  rho*cos(phi)]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        hessian 

        wronskian 

        """ 

        if not isinstance(X, MatrixBase): 

            X = self._new(X) 

        # Both X and self can be a row or a column matrix, so we need to make 

        # sure all valid combinations work, but everything else fails: 

        if self.shape[0] == 1: 

            m = self.shape[1] 

        elif self.shape[1] == 1: 

            m = self.shape[0] 

        else: 

            raise TypeError("self must be a row or a column matrix") 

        if X.shape[0] == 1: 

            n = X.shape[1] 

        elif X.shape[1] == 1: 

            n = X.shape[0] 

        else: 

            raise TypeError("X must be a row or a column matrix") 

 

        # m is the number of functions and n is the number of variables 

        # computing the Jacobian is now easy: 

        return self._new(m, n, lambda j, i: self[j].diff(X[i])) 

 

    def QRdecomposition(self): 

        """Return Q, R where A = Q*R, Q is orthogonal and R is upper triangular. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        This is the example from wikipedia: 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> A = Matrix([[12, -51, 4], [6, 167, -68], [-4, 24, -41]]) 

        >>> Q, R = A.QRdecomposition() 

        >>> Q 

        Matrix([ 

        [ 6/7, -69/175, -58/175], 

        [ 3/7, 158/175,   6/175], 

        [-2/7,    6/35,  -33/35]]) 

        >>> R 

        Matrix([ 

        [14,  21, -14], 

        [ 0, 175, -70], 

        [ 0,   0,  35]]) 

        >>> A == Q*R 

        True 

 

        QR factorization of an identity matrix: 

 

        >>> A = Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]) 

        >>> Q, R = A.QRdecomposition() 

        >>> Q 

        Matrix([ 

        [1, 0, 0], 

        [0, 1, 0], 

        [0, 0, 1]]) 

        >>> R 

        Matrix([ 

        [1, 0, 0], 

        [0, 1, 0], 

        [0, 0, 1]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cholesky 

        LDLdecomposition 

        LUdecomposition 

        QRsolve 

        """ 

        cls = self.__class__ 

        mat = self.as_mutable() 

 

        if not mat.rows >= mat.cols: 

            raise MatrixError( 

                "The number of rows must be greater than columns") 

        n = mat.rows 

        m = mat.cols 

        rank = n 

        row_reduced = mat.rref()[0] 

        for i in range(row_reduced.rows): 

            if row_reduced.row(i).norm() == 0: 

                rank -= 1 

        if not rank == mat.cols: 

            raise MatrixError("The rank of the matrix must match the columns") 

        Q, R = mat.zeros(n, m), mat.zeros(m) 

        for j in range(m):      # for each column vector 

            tmp = mat[:, j]     # take original v 

            for i in range(j): 

                # subtract the project of mat on new vector 

                tmp -= Q[:, i]*mat[:, j].dot(Q[:, i]) 

                tmp.expand() 

            # normalize it 

            R[j, j] = tmp.norm() 

            Q[:, j] = tmp / R[j, j] 

            if Q[:, j].norm() != 1: 

                raise NotImplementedError( 

                    "Could not normalize the vector %d." % j) 

            for i in range(j): 

                R[i, j] = Q[:, i].dot(mat[:, j]) 

        return cls(Q), cls(R) 

 

    def QRsolve(self, b): 

        """Solve the linear system 'Ax = b'. 

 

        'self' is the matrix 'A', the method argument is the vector 

        'b'.  The method returns the solution vector 'x'.  If 'b' is a 

        matrix, the system is solved for each column of 'b' and the 

        return value is a matrix of the same shape as 'b'. 

 

        This method is slower (approximately by a factor of 2) but 

        more stable for floating-point arithmetic than the LUsolve method. 

        However, LUsolve usually uses an exact arithmetic, so you don't need 

        to use QRsolve. 

 

        This is mainly for educational purposes and symbolic matrices, for real 

        (or complex) matrices use mpmath.qr_solve. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        lower_triangular_solve 

        upper_triangular_solve 

        gauss_jordan_solve 

        cholesky_solve 

        diagonal_solve 

        LDLsolve 

        LUsolve 

        pinv_solve 

        QRdecomposition 

        """ 

 

        Q, R = self.as_mutable().QRdecomposition() 

        y = Q.T*b 

 

        # back substitution to solve R*x = y: 

        # We build up the result "backwards" in the vector 'x' and reverse it 

        # only in the end. 

        x = [] 

        n = R.rows 

        for j in range(n - 1, -1, -1): 

            tmp = y[j, :] 

            for k in range(j + 1, n): 

                tmp -= R[j, k]*x[n - 1 - k] 

            x.append(tmp / R[j, j]) 

        return self._new([row._mat for row in reversed(x)]) 

 

    def cross(self, b): 

        """Return the cross product of `self` and `b` relaxing the condition 

        of compatible dimensions: if each has 3 elements, a matrix of the 

        same type and shape as `self` will be returned. If `b` has the same 

        shape as `self` then common identities for the cross product (like 

        `a x b = - b x a`) will hold. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        dot 

        multiply 

        multiply_elementwise 

        """ 

        if not is_sequence(b): 

            raise TypeError("`b` must be an ordered iterable or Matrix, not %s." % 

                type(b)) 

        if not (self.rows * self.cols == b.rows * b.cols == 3): 

            raise ShapeError("Dimensions incorrect for cross product.") 

        else: 

            return self._new(self.rows, self.cols, ( 

                (self[1]*b[2] - self[2]*b[1]), 

                (self[2]*b[0] - self[0]*b[2]), 

                (self[0]*b[1] - self[1]*b[0]))) 

 

    def dot(self, b): 

        """Return the dot product of Matrix self and b relaxing the condition 

        of compatible dimensions: if either the number of rows or columns are 

        the same as the length of b then the dot product is returned. If self 

        is a row or column vector, a scalar is returned. Otherwise, a list 

        of results is returned (and in that case the number of columns in self 

        must match the length of b). 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> M = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 

        >>> v = [1, 1, 1] 

        >>> M.row(0).dot(v) 

        6 

        >>> M.col(0).dot(v) 

        12 

        >>> M.dot(v) 

        [6, 15, 24] 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cross 

        multiply 

        multiply_elementwise 

        """ 

        from .dense import Matrix 

 

        if not isinstance(b, MatrixBase): 

            if is_sequence(b): 

                if len(b) != self.cols and len(b) != self.rows: 

                    raise ShapeError("Dimensions incorrect for dot product.") 

                return self.dot(Matrix(b)) 

            else: 

                raise TypeError("`b` must be an ordered iterable or Matrix, not %s." % 

                type(b)) 

 

        mat = self 

        if mat.cols == b.rows: 

            if b.cols != 1: 

                mat = mat.T 

                b = b.T 

            prod = flatten((mat*b).tolist()) 

            if len(prod) == 1: 

                return prod[0] 

            return prod 

        if mat.cols == b.cols: 

            return mat.dot(b.T) 

        elif mat.rows == b.rows: 

            return mat.T.dot(b) 

        else: 

            raise ShapeError("Dimensions incorrect for dot product.") 

 

    def multiply_elementwise(self, b): 

        """Return the Hadamard product (elementwise product) of A and B 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> A = Matrix([[0, 1, 2], [3, 4, 5]]) 

        >>> B = Matrix([[1, 10, 100], [100, 10, 1]]) 

        >>> A.multiply_elementwise(B) 

        Matrix([ 

        [  0, 10, 200], 

        [300, 40,   5]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cross 

        dot 

        multiply 

        """ 

        from sympy.matrices import matrix_multiply_elementwise 

 

        return matrix_multiply_elementwise(self, b) 

 

    def values(self): 

        """Return non-zero values of self.""" 

        return [i for i in flatten(self.tolist()) if not i.is_zero] 

 

    def norm(self, ord=None): 

        """Return the Norm of a Matrix or Vector. 

        In the simplest case this is the geometric size of the vector 

        Other norms can be specified by the ord parameter 

 

 

        =====  ============================  ========================== 

        ord    norm for matrices             norm for vectors 

        =====  ============================  ========================== 

        None   Frobenius norm                2-norm 

        'fro'  Frobenius norm                - does not exist 

        inf    --                            max(abs(x)) 

        -inf   --                            min(abs(x)) 

        1      --                            as below 

        -1     --                            as below 

        2      2-norm (largest sing. value)  as below 

        -2     smallest singular value       as below 

        other  - does not exist              sum(abs(x)**ord)**(1./ord) 

        =====  ============================  ========================== 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, Symbol, trigsimp, cos, sin, oo 

        >>> x = Symbol('x', real=True) 

        >>> v = Matrix([cos(x), sin(x)]) 

        >>> trigsimp( v.norm() ) 

        1 

        >>> v.norm(10) 

        (sin(x)**10 + cos(x)**10)**(1/10) 

        >>> A = Matrix([[1, 1], [1, 1]]) 

        >>> A.norm(2)# Spectral norm (max of |Ax|/|x| under 2-vector-norm) 

        2 

        >>> A.norm(-2) # Inverse spectral norm (smallest singular value) 

        0 

        >>> A.norm() # Frobenius Norm 

        2 

        >>> Matrix([1, -2]).norm(oo) 

        2 

        >>> Matrix([-1, 2]).norm(-oo) 

        1 

 

        See Also 

        ======== 

 

        normalized 

        """ 

        # Row or Column Vector Norms 

        vals = list(self.values()) or [0] 

        if self.rows == 1 or self.cols == 1: 

            if ord == 2 or ord is None:  # Common case sqrt(<x, x>) 

                return sqrt(Add(*(abs(i)**2 for i in vals))) 

 

            elif ord == 1:  # sum(abs(x)) 

                return Add(*(abs(i) for i in vals)) 

 

            elif ord == S.Infinity:  # max(abs(x)) 

                return Max(*[abs(i) for i in vals]) 

 

            elif ord == S.NegativeInfinity:  # min(abs(x)) 

                return Min(*[abs(i) for i in vals]) 

 

            # Otherwise generalize the 2-norm, Sum(x_i**ord)**(1/ord) 

            # Note that while useful this is not mathematically a norm 

            try: 

                return Pow(Add(*(abs(i)**ord for i in vals)), S(1) / ord) 

            except (NotImplementedError, TypeError): 

                raise ValueError("Expected order to be Number, Symbol, oo") 

 

        # Matrix Norms 

        else: 

            if ord == 2:  # Spectral Norm 

                # Maximum singular value 

                return Max(*self.singular_values()) 

 

            elif ord == -2: 

                # Minimum singular value 

                return Min(*self.singular_values()) 

 

            elif (ord is None or isinstance(ord, string_types) and ord.lower() in 

                    ['f', 'fro', 'frobenius', 'vector']): 

                # Reshape as vector and send back to norm function 

                return self.vec().norm(ord=2) 

 

            else: 

                raise NotImplementedError("Matrix Norms under development") 

 

    def normalized(self): 

        """Return the normalized version of ``self``. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        norm 

        """ 

        if self.rows != 1 and self.cols != 1: 

            raise ShapeError("A Matrix must be a vector to normalize.") 

        norm = self.norm() 

        out = self.applyfunc(lambda i: i / norm) 

        return out 

 

    def project(self, v): 

        """Return the projection of ``self`` onto the line containing ``v``. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, S, sqrt 

        >>> V = Matrix([sqrt(3)/2, S.Half]) 

        >>> x = Matrix([[1, 0]]) 

        >>> V.project(x) 

        Matrix([[sqrt(3)/2, 0]]) 

        >>> V.project(-x) 

        Matrix([[sqrt(3)/2, 0]]) 

        """ 

        return v*(self.dot(v) / v.dot(v)) 

 

    def permuteBkwd(self, perm): 

        """Permute the rows of the matrix with the given permutation in reverse. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import eye 

        >>> M = eye(3) 

        >>> M.permuteBkwd([[0, 1], [0, 2]]) 

        Matrix([ 

        [0, 1, 0], 

        [0, 0, 1], 

        [1, 0, 0]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        permuteFwd 

        """ 

        copy = self.copy() 

        for i in range(len(perm) - 1, -1, -1): 

            copy.row_swap(perm[i][0], perm[i][1]) 

        return copy 

 

    def permuteFwd(self, perm): 

        """Permute the rows of the matrix with the given permutation. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import eye 

        >>> M = eye(3) 

        >>> M.permuteFwd([[0, 1], [0, 2]]) 

        Matrix([ 

        [0, 0, 1], 

        [1, 0, 0], 

        [0, 1, 0]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        permuteBkwd 

        """ 

        copy = self.copy() 

        for i in range(len(perm)): 

            copy.row_swap(perm[i][0], perm[i][1]) 

        return copy 

 

    def exp(self): 

        """Return the exponentiation of a square matrix.""" 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError( 

                "Exponentiation is valid only for square matrices") 

        try: 

            P, cells = self.jordan_cells() 

        except MatrixError: 

            raise NotImplementedError("Exponentiation is implemented only for matrices for which the Jordan normal form can be computed") 

 

        def _jblock_exponential(b): 

            # This function computes the matrix exponential for one single Jordan block 

            nr = b.rows 

            l = b[0, 0] 

            if nr == 1: 

                res = exp(l) 

            else: 

                from sympy import eye 

                # extract the diagonal part 

                d = b[0, 0]*eye(nr) 

                #and the nilpotent part 

                n = b-d 

                # compute its exponential 

                nex = eye(nr) 

                for i in range(1, nr): 

                    nex = nex+n**i/factorial(i) 

                # combine the two parts 

                res = exp(b[0, 0])*nex 

            return(res) 

 

        blocks = list(map(_jblock_exponential, cells)) 

        from sympy.matrices import diag 

        eJ = diag(* blocks) 

        # n = self.rows 

        ret = P*eJ*P.inv() 

        return type(self)(ret) 

 

    @property 

    def is_square(self): 

        """Checks if a matrix is square. 

 

        A matrix is square if the number of rows equals the number of columns. 

        The empty matrix is square by definition, since the number of rows and 

        the number of columns are both zero. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> a = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) 

        >>> b = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) 

        >>> c = Matrix([]) 

        >>> a.is_square 

        False 

        >>> b.is_square 

        True 

        >>> c.is_square 

        True 

        """ 

        return self.rows == self.cols 

 

    @property 

    def is_zero(self): 

        """Checks if a matrix is a zero matrix. 

 

        A matrix is zero if every element is zero.  A matrix need not be square 

        to be considered zero.  The empty matrix is zero by the principle of 

        vacuous truth.  For a matrix that may or may not be zero (e.g. 

        contains a symbol), this will be None 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, zeros 

        >>> from sympy.abc import x 

        >>> a = Matrix([[0, 0], [0, 0]]) 

        >>> b = zeros(3, 4) 

        >>> c = Matrix([[0, 1], [0, 0]]) 

        >>> d = Matrix([]) 

        >>> e = Matrix([[x, 0], [0, 0]]) 

        >>> a.is_zero 

        True 

        >>> b.is_zero 

        True 

        >>> c.is_zero 

        False 

        >>> d.is_zero 

        True 

        >>> e.is_zero 

        """ 

        if any(i.is_zero == False for i in self): 

            return False 

        if any(i.is_zero == None for i in self): 

            return None 

        return True 

 

    def is_nilpotent(self): 

        """Checks if a matrix is nilpotent. 

 

        A matrix B is nilpotent if for some integer k, B**k is 

        a zero matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> a = Matrix([[0, 0, 0], [1, 0, 0], [1, 1, 0]]) 

        >>> a.is_nilpotent() 

        True 

 

        >>> a = Matrix([[1, 0, 1], [1, 0, 0], [1, 1, 0]]) 

        >>> a.is_nilpotent() 

        False 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError( 

                "Nilpotency is valid only for square matrices") 

        x = Dummy('x') 

        if self.charpoly(x).args[0] == x**self.rows: 

            return True 

        return False 

 

    @property 

    def is_upper(self): 

        """Check if matrix is an upper triangular matrix. True can be returned 

        even if the matrix is not square. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(2, 2, [1, 0, 0, 1]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 0], 

        [0, 1]]) 

        >>> m.is_upper 

        True 

 

        >>> m = Matrix(4, 3, [5, 1, 9, 0, 4 , 6, 0, 0, 5, 0, 0, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [5, 1, 9], 

        [0, 4, 6], 

        [0, 0, 5], 

        [0, 0, 0]]) 

        >>> m.is_upper 

        True 

 

        >>> m = Matrix(2, 3, [4, 2, 5, 6, 1, 1]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [4, 2, 5], 

        [6, 1, 1]]) 

        >>> m.is_upper 

        False 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_lower 

        is_diagonal 

        is_upper_hessenberg 

        """ 

        return all(self[i, j].is_zero 

            for i in range(1, self.rows) 

            for j in range(i)) 

 

    @property 

    def is_lower(self): 

        """Check if matrix is a lower triangular matrix. True can be returned 

        even if the matrix is not square. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(2, 2, [1, 0, 0, 1]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 0], 

        [0, 1]]) 

        >>> m.is_lower 

        True 

 

        >>> m = Matrix(4, 3, [0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 4 , 0, 6, 6, 5]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0, 0, 0], 

        [2, 0, 0], 

        [1, 4, 0], 

        [6, 6, 5]]) 

        >>> m.is_lower 

        True 

 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> m = Matrix(2, 2, [x**2 + y, y**2 + x, 0, x + y]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [x**2 + y, x + y**2], 

        [       0,    x + y]]) 

        >>> m.is_lower 

        False 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_upper 

        is_diagonal 

        is_lower_hessenberg 

        """ 

        return all(self[i, j].is_zero 

            for i in range(self.rows) 

            for j in range(i + 1, self.cols)) 

 

    @property 

    def is_hermitian(self): 

        """Checks if the matrix is Hermitian. 

 

        In a Hermitian matrix element i,j is the complex conjugate of 

        element j,i. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> from sympy import I 

        >>> from sympy.abc import x 

        >>> a = Matrix([[1, I], [-I, 1]]) 

        >>> a 

        Matrix([ 

        [ 1, I], 

        [-I, 1]]) 

        >>> a.is_hermitian 

        True 

        >>> a[0, 0] = 2*I 

        >>> a.is_hermitian 

        False 

        >>> a[0, 0] = x 

        >>> a.is_hermitian 

        >>> a[0, 1] = a[1, 0]*I 

        >>> a.is_hermitian 

        False 

        """ 

        def cond(): 

            yield self.is_square 

            yield fuzzy_and( 

                    self[i, i].is_real for i in range(self.rows)) 

            yield fuzzy_and( 

                    (self[i, j] - self[j, i].conjugate()).is_zero 

                    for i in range(self.rows) 

                    for j in range(i + 1, self.cols)) 

        return fuzzy_and(i for i in cond()) 

 

    @property 

    def is_upper_hessenberg(self): 

        """Checks if the matrix is the upper-Hessenberg form. 

 

        The upper hessenberg matrix has zero entries 

        below the first subdiagonal. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> a = Matrix([[1, 4, 2, 3], [3, 4, 1, 7], [0, 2, 3, 4], [0, 0, 1, 3]]) 

        >>> a 

        Matrix([ 

        [1, 4, 2, 3], 

        [3, 4, 1, 7], 

        [0, 2, 3, 4], 

        [0, 0, 1, 3]]) 

        >>> a.is_upper_hessenberg 

        True 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_lower_hessenberg 

        is_upper 

        """ 

        return all(self[i, j].is_zero 

            for i in range(2, self.rows) 

            for j in range(i - 1)) 

 

    @property 

    def is_lower_hessenberg(self): 

        r"""Checks if the matrix is in the lower-Hessenberg form. 

 

        The lower hessenberg matrix has zero entries 

        above the first superdiagonal. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> a = Matrix([[1, 2, 0, 0], [5, 2, 3, 0], [3, 4, 3, 7], [5, 6, 1, 1]]) 

        >>> a 

        Matrix([ 

        [1, 2, 0, 0], 

        [5, 2, 3, 0], 

        [3, 4, 3, 7], 

        [5, 6, 1, 1]]) 

        >>> a.is_lower_hessenberg 

        True 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_upper_hessenberg 

        is_lower 

        """ 

        return all(self[i, j].is_zero 

            for i in range(self.rows) 

            for j in range(i + 2, self.cols)) 

 

    def is_symbolic(self): 

        """Checks if any elements contain Symbols. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> M = Matrix([[x, y], [1, 0]]) 

        >>> M.is_symbolic() 

        True 

 

        """ 

        return any(element.has(Symbol) for element in self.values()) 

 

    def is_symmetric(self, simplify=True): 

        """Check if matrix is symmetric matrix, 

        that is square matrix and is equal to its transpose. 

 

        By default, simplifications occur before testing symmetry. 

        They can be skipped using 'simplify=False'; while speeding things a bit, 

        this may however induce false negatives. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(2, 2, [0, 1, 1, 2]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0, 1], 

        [1, 2]]) 

        >>> m.is_symmetric() 

        True 

 

        >>> m = Matrix(2, 2, [0, 1, 2, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0, 1], 

        [2, 0]]) 

        >>> m.is_symmetric() 

        False 

 

        >>> m = Matrix(2, 3, [0, 0, 0, 0, 0, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0, 0, 0], 

        [0, 0, 0]]) 

        >>> m.is_symmetric() 

        False 

 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> m = Matrix(3, 3, [1, x**2 + 2*x + 1, y, (x + 1)**2 , 2, 0, y, 0, 3]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [         1, x**2 + 2*x + 1, y], 

        [(x + 1)**2,              2, 0], 

        [         y,              0, 3]]) 

        >>> m.is_symmetric() 

        True 

 

        If the matrix is already simplified, you may speed-up is_symmetric() 

        test by using 'simplify=False'. 

 

        >>> m.is_symmetric(simplify=False) 

        False 

        >>> m1 = m.expand() 

        >>> m1.is_symmetric(simplify=False) 

        True 

        """ 

        if not self.is_square: 

            return False 

        if simplify: 

            delta = self - self.transpose() 

            delta.simplify() 

            return delta.equals(self.zeros(self.rows, self.cols)) 

        else: 

            return self == self.transpose() 

 

    def is_anti_symmetric(self, simplify=True): 

        """Check if matrix M is an antisymmetric matrix, 

        that is, M is a square matrix with all M[i, j] == -M[j, i]. 

 

        When ``simplify=True`` (default), the sum M[i, j] + M[j, i] is 

        simplified before testing to see if it is zero. By default, 

        the SymPy simplify function is used. To use a custom function 

        set simplify to a function that accepts a single argument which 

        returns a simplified expression. To skip simplification, set 

        simplify to False but note that although this will be faster, 

        it may induce false negatives. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, symbols 

        >>> m = Matrix(2, 2, [0, 1, -1, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [ 0, 1], 

        [-1, 0]]) 

        >>> m.is_anti_symmetric() 

        True 

        >>> x, y = symbols('x y') 

        >>> m = Matrix(2, 3, [0, 0, x, -y, 0, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [ 0, 0, x], 

        [-y, 0, 0]]) 

        >>> m.is_anti_symmetric() 

        False 

 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> m = Matrix(3, 3, [0, x**2 + 2*x + 1, y, 

        ...                   -(x + 1)**2 , 0, x*y, 

        ...                   -y, -x*y, 0]) 

 

        Simplification of matrix elements is done by default so even 

        though two elements which should be equal and opposite wouldn't 

        pass an equality test, the matrix is still reported as 

        anti-symmetric: 

 

        >>> m[0, 1] == -m[1, 0] 

        False 

        >>> m.is_anti_symmetric() 

        True 

 

        If 'simplify=False' is used for the case when a Matrix is already 

        simplified, this will speed things up. Here, we see that without 

        simplification the matrix does not appear anti-symmetric: 

 

        >>> m.is_anti_symmetric(simplify=False) 

        False 

 

        But if the matrix were already expanded, then it would appear 

        anti-symmetric and simplification in the is_anti_symmetric routine 

        is not needed: 

 

        >>> m = m.expand() 

        >>> m.is_anti_symmetric(simplify=False) 

        True 

        """ 

        # accept custom simplification 

        simpfunc = simplify if isinstance(simplify, FunctionType) else \ 

            _simplify if simplify else False 

 

        if not self.is_square: 

            return False 

        n = self.rows 

        if simplify: 

            for i in range(n): 

                # diagonal 

                if not simpfunc(self[i, i]).is_zero: 

                    return False 

                # others 

                for j in range(i + 1, n): 

                    diff = self[i, j] + self[j, i] 

                    if not simpfunc(diff).is_zero: 

                        return False 

            return True 

        else: 

            for i in range(n): 

                for j in range(i, n): 

                    if self[i, j] != -self[j, i]: 

                        return False 

            return True 

 

    def is_diagonal(self): 

        """Check if matrix is diagonal, 

        that is matrix in which the entries outside the main diagonal are all zero. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, diag 

        >>> m = Matrix(2, 2, [1, 0, 0, 2]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 0], 

        [0, 2]]) 

        >>> m.is_diagonal() 

        True 

 

        >>> m = Matrix(2, 2, [1, 1, 0, 2]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 1], 

        [0, 2]]) 

        >>> m.is_diagonal() 

        False 

 

        >>> m = diag(1, 2, 3) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 0, 0], 

        [0, 2, 0], 

        [0, 0, 3]]) 

        >>> m.is_diagonal() 

        True 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_lower 

        is_upper 

        is_diagonalizable 

        diagonalize 

        """ 

        for i in range(self.rows): 

            for j in range(self.cols): 

                if i != j and self[i, j]: 

                    return False 

        return True 

 

    def det(self, method="bareis"): 

        """Computes the matrix determinant using the method "method". 

 

        Possible values for "method": 

          bareis ... det_bareis 

          berkowitz ... berkowitz_det 

          det_LU ... det_LU_decomposition 

 

        See Also 

        ======== 

 

        det_bareis 

        berkowitz_det 

        det_LU 

        """ 

 

        # if methods were made internal and all determinant calculations 

        # passed through here, then these lines could be factored out of 

        # the method routines 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if not self: 

            return S.One 

        if method == "bareis": 

            return self.det_bareis() 

        elif method == "berkowitz": 

            return self.berkowitz_det() 

        elif method == "det_LU": 

            return self.det_LU_decomposition() 

        else: 

            raise ValueError("Determinant method '%s' unrecognized" % method) 

 

    def det_bareis(self): 

        """Compute matrix determinant using Bareis' fraction-free 

        algorithm which is an extension of the well known Gaussian 

        elimination method. This approach is best suited for dense 

        symbolic matrices and will result in a determinant with 

        minimal number of fractions. It means that less term 

        rewriting is needed on resulting formulae. 

 

        TODO: Implement algorithm for sparse matrices (SFF), 

        http://www.eecis.udel.edu/~saunders/papers/sffge/it5.ps. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        det 

        berkowitz_det 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if not self: 

            return S.One 

 

        M, n = self.copy().as_mutable(), self.rows 

 

        if n == 1: 

            det = M[0, 0] 

        elif n == 2: 

            det = M[0, 0]*M[1, 1] - M[0, 1]*M[1, 0] 

        elif n == 3: 

            det = (M[0, 0]*M[1, 1]*M[2, 2] + M[0, 1]*M[1, 2]*M[2, 0] + M[0, 2]*M[1, 0]*M[2, 1]) - \ 

                  (M[0, 2]*M[1, 1]*M[2, 0] + M[0, 0]*M[1, 2]*M[2, 1] + M[0, 1]*M[1, 0]*M[2, 2]) 

        else: 

            sign = 1  # track current sign in case of column swap 

 

            for k in range(n - 1): 

                # look for a pivot in the current column 

                # and assume det == 0 if none is found 

                if M[k, k] == 0: 

                    for i in range(k + 1, n): 

                        if M[i, k]: 

                            M.row_swap(i, k) 

                            sign *= -1 

                            break 

                    else: 

                        return S.Zero 

 

                # proceed with Bareis' fraction-free (FF) 

                # form of Gaussian elimination algorithm 

                for i in range(k + 1, n): 

                    for j in range(k + 1, n): 

                        D = M[k, k]*M[i, j] - M[i, k]*M[k, j] 

 

                        if k > 0: 

                            D /= M[k - 1, k - 1] 

 

                        if D.is_Atom: 

                            M[i, j] = D 

                        else: 

                            M[i, j] = cancel(D) 

 

            det = sign*M[n - 1, n - 1] 

 

        return det.expand() 

 

    def det_LU_decomposition(self): 

        """Compute matrix determinant using LU decomposition 

 

        Note that this method fails if the LU decomposition itself 

        fails. In particular, if the matrix has no inverse this method 

        will fail. 

 

        TODO: Implement algorithm for sparse matrices (SFF), 

        http://www.eecis.udel.edu/~saunders/papers/sffge/it5.ps. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        det 

        det_bareis 

        berkowitz_det 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if not self: 

            return S.One 

 

        M, n = self.copy(), self.rows 

        p, prod = [], 1 

        l, u, p = M.LUdecomposition() 

        if len(p) % 2: 

            prod = -1 

 

        for k in range(n): 

            prod = prod*u[k, k]*l[k, k] 

 

        return prod.expand() 

 

    def adjugate(self, method="berkowitz"): 

        """Returns the adjugate matrix. 

 

        Adjugate matrix is the transpose of the cofactor matrix. 

 

        http://en.wikipedia.org/wiki/Adjugate 

 

        See Also 

        ======== 

 

        cofactorMatrix 

        transpose 

        berkowitz 

        """ 

 

        return self.cofactorMatrix(method).T 

 

    def inverse_LU(self, iszerofunc=_iszero): 

        """Calculates the inverse using LU decomposition. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        inv 

        inverse_GE 

        inverse_ADJ 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

 

        ok = self.rref(simplify=True)[0] 

        if any(iszerofunc(ok[j, j]) for j in range(ok.rows)): 

            raise ValueError("Matrix det == 0; not invertible.") 

 

        return self.LUsolve(self.eye(self.rows), iszerofunc=_iszero) 

 

    def inverse_GE(self, iszerofunc=_iszero): 

        """Calculates the inverse using Gaussian elimination. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        inv 

        inverse_LU 

        inverse_ADJ 

        """ 

        from .dense import Matrix 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("A Matrix must be square to invert.") 

 

        big = Matrix.hstack(self.as_mutable(), Matrix.eye(self.rows)) 

        red = big.rref(iszerofunc=iszerofunc, simplify=True)[0] 

        if any(iszerofunc(red[j, j]) for j in range(red.rows)): 

            raise ValueError("Matrix det == 0; not invertible.") 

 

        return self._new(red[:, big.rows:]) 

 

    def inverse_ADJ(self, iszerofunc=_iszero): 

        """Calculates the inverse using the adjugate matrix and a determinant. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        inv 

        inverse_LU 

        inverse_GE 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError("A Matrix must be square to invert.") 

 

        d = self.berkowitz_det() 

        zero = d.equals(0) 

        if zero is None: 

            # if equals() can't decide, will rref be able to? 

            ok = self.rref(simplify=True)[0] 

            zero = any(iszerofunc(ok[j, j]) for j in range(ok.rows)) 

        if zero: 

            raise ValueError("Matrix det == 0; not invertible.") 

 

        return self.adjugate() / d 

 

    def rref(self, iszerofunc=_iszero, simplify=False): 

        """Return reduced row-echelon form of matrix and indices of pivot vars. 

 

        To simplify elements before finding nonzero pivots set simplify=True 

        (to use the default SymPy simplify function) or pass a custom 

        simplify function. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x 

        >>> m = Matrix([[1, 2], [x, 1 - 1/x]]) 

        >>> m.rref() 

        (Matrix([ 

        [1, 0], 

        [0, 1]]), [0, 1]) 

        """ 

        simpfunc = simplify if isinstance( 

            simplify, FunctionType) else _simplify 

        # pivot: index of next row to contain a pivot 

        pivot, r = 0, self.as_mutable() 

        # pivotlist: indices of pivot variables (non-free) 

        pivotlist = [] 

        for i in range(r.cols): 

            if pivot == r.rows: 

                break 

            if simplify: 

                r[pivot, i] = simpfunc(r[pivot, i]) 

            if iszerofunc(r[pivot, i]): 

                for k in range(pivot, r.rows): 

                    if simplify and k > pivot: 

                        r[k, i] = simpfunc(r[k, i]) 

                    if not iszerofunc(r[k, i]): 

                        r.row_swap(pivot, k) 

                        break 

                else: 

                    continue 

            scale = r[pivot, i] 

            r.row_op(pivot, lambda x, _: x / scale) 

            for j in range(r.rows): 

                if j == pivot: 

                    continue 

                scale = r[j, i] 

                r.zip_row_op(j, pivot, lambda x, y: x - scale*y) 

            pivotlist.append(i) 

            pivot += 1 

        return self._new(r), pivotlist 

 

    def rank(self, iszerofunc=_iszero, simplify=False): 

        """ 

        Returns the rank of a matrix 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x 

        >>> m = Matrix([[1, 2], [x, 1 - 1/x]]) 

        >>> m.rank() 

        2 

        >>> n = Matrix(3, 3, range(1, 10)) 

        >>> n.rank() 

        2 

        """ 

        row_reduced = self.rref(iszerofunc=iszerofunc, simplify=simplify) 

        rank = len(row_reduced[-1]) 

        return rank 

 

    def nullspace(self, simplify=False): 

        """Returns list of vectors (Matrix objects) that span nullspace of self 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> m = Matrix(3, 3, [1, 3, 0, -2, -6, 0, 3, 9, 6]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [ 1,  3, 0], 

        [-2, -6, 0], 

        [ 3,  9, 6]]) 

        >>> m.nullspace() 

        [Matrix([ 

        [-3], 

        [ 1], 

        [ 0]])] 

 

        See Also 

        ======== 

 

        columnspace 

        """ 

        from sympy.matrices import zeros 

 

        simpfunc = simplify if isinstance( 

            simplify, FunctionType) else _simplify 

        reduced, pivots = self.rref(simplify=simpfunc) 

 

        basis = [] 

        # create a set of vectors for the basis 

        for i in range(self.cols - len(pivots)): 

            basis.append(zeros(self.cols, 1)) 

        # contains the variable index to which the vector corresponds 

        basiskey, cur = [-1]*len(basis), 0 

        for i in range(self.cols): 

            if i not in pivots: 

                basiskey[cur] = i 

                cur += 1 

        for i in range(self.cols): 

            if i not in pivots:  # free var, just set vector's ith place to 1 

                basis[basiskey.index(i)][i, 0] = 1 

            else:               # add negative of nonpivot entry to corr vector 

                for j in range(i + 1, self.cols): 

                    line = pivots.index(i) 

                    v = reduced[line, j] 

                    if simplify: 

                        v = simpfunc(v) 

                    if v: 

                        if j in pivots: 

                            # XXX: Is this the correct error? 

                            raise NotImplementedError( 

                                "Could not compute the nullspace of `self`.") 

                        basis[basiskey.index(j)][i, 0] = -v 

        return [self._new(b) for b in basis] 

 

    def columnspace(self, simplify=False): 

        """Returns list of vectors (Matrix objects) that span columnspace of self 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> m = Matrix(3, 3, [1, 3, 0, -2, -6, 0, 3, 9, 6]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [ 1,  3, 0], 

        [-2, -6, 0], 

        [ 3,  9, 6]]) 

        >>> m.columnspace() 

        [Matrix([ 

        [ 1], 

        [-2], 

        [ 3]]), Matrix([ 

        [0], 

        [0], 

        [6]])] 

 

        See Also 

        ======== 

 

        nullspace 

        """ 

        simpfunc = simplify if isinstance( 

            simplify, FunctionType) else _simplify 

        reduced, pivots = self.rref(simplify=simpfunc) 

 

        basis = [] 

        # create a set of vectors for the basis 

        for i in range(self.cols): 

            if i in pivots: 

                basis.append(self.col(i)) 

        return [self._new(b) for b in basis] 

 

    def berkowitz(self): 

        """The Berkowitz algorithm. 

 

           Given N x N matrix with symbolic content, compute efficiently 

           coefficients of characteristic polynomials of 'self' and all 

           its square sub-matrices composed by removing both i-th row 

           and column, without division in the ground domain. 

 

           This method is particularly useful for computing determinant, 

           principal minors and characteristic polynomial, when 'self' 

           has complicated coefficients e.g. polynomials. Semi-direct 

           usage of this algorithm is also important in computing 

           efficiently sub-resultant PRS. 

 

           Assuming that M is a square matrix of dimension N x N and 

           I is N x N identity matrix,  then the following following 

           definition of characteristic polynomial is begin used: 

 

                          charpoly(M) = det(t*I - M) 

 

           As a consequence, all polynomials generated by Berkowitz 

           algorithm are monic. 

 

           >>> from sympy import Matrix 

           >>> from sympy.abc import x, y, z 

 

           >>> M = Matrix([[x, y, z], [1, 0, 0], [y, z, x]]) 

 

           >>> p, q, r = M.berkowitz() 

 

           >>> p # 1 x 1 M's sub-matrix 

           (1, -x) 

 

           >>> q # 2 x 2 M's sub-matrix 

           (1, -x, -y) 

 

           >>> r # 3 x 3 M's sub-matrix 

           (1, -2*x, x**2 - y*z - y, x*y - z**2) 

 

           For more information on the implemented algorithm refer to: 

 

           [1] S.J. Berkowitz, On computing the determinant in small 

               parallel time using a small number of processors, ACM, 

               Information Processing Letters 18, 1984, pp. 147-150 

 

           [2] M. Keber, Division-Free computation of sub-resultants 

               using Bezout matrices, Tech. Report MPI-I-2006-1-006, 

               Saarbrucken, 2006 

 

        See Also 

        ======== 

 

        berkowitz_det 

        berkowitz_minors 

        berkowitz_charpoly 

        berkowitz_eigenvals 

        """ 

        from sympy.matrices import zeros 

 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

 

        A, N = self, self.rows 

        transforms = [0]*(N - 1) 

 

        for n in range(N, 1, -1): 

            T, k = zeros(n + 1, n), n - 1 

 

            R, C = -A[k, :k], A[:k, k] 

            A, a = A[:k, :k], -A[k, k] 

 

            items = [C] 

 

            for i in range(0, n - 2): 

                items.append(A*items[i]) 

 

            for i, B in enumerate(items): 

                items[i] = (R*B)[0, 0] 

 

            items = [S.One, a] + items 

 

            for i in range(n): 

                T[i:, i] = items[:n - i + 1] 

 

            transforms[k - 1] = T 

 

        polys = [self._new([S.One, -A[0, 0]])] 

 

        for i, T in enumerate(transforms): 

            polys.append(T*polys[i]) 

 

        return tuple(map(tuple, polys)) 

 

    def berkowitz_det(self): 

        """Computes determinant using Berkowitz method. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        det 

        berkowitz 

        """ 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if not self: 

            return S.One 

        poly = self.berkowitz()[-1] 

        sign = (-1)**(len(poly) - 1) 

        return sign*poly[-1] 

 

    def berkowitz_minors(self): 

        """Computes principal minors using Berkowitz method. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        berkowitz 

        """ 

        sign, minors = S.NegativeOne, [] 

 

        for poly in self.berkowitz(): 

            minors.append(sign*poly[-1]) 

            sign = -sign 

 

        return tuple(minors) 

 

    def berkowitz_charpoly(self, x=Dummy('lambda'), simplify=_simplify): 

        """Computes characteristic polynomial minors using Berkowitz method. 

 

        A PurePoly is returned so using different variables for ``x`` does 

        not affect the comparison or the polynomials: 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> A = Matrix([[1, 3], [2, 0]]) 

        >>> A.berkowitz_charpoly(x) == A.berkowitz_charpoly(y) 

        True 

 

        Specifying ``x`` is optional; a Dummy with name ``lambda`` is used by 

        default (which looks good when pretty-printed in unicode): 

 

        >>> A.berkowitz_charpoly().as_expr() 

        _lambda**2 - _lambda - 6 

 

        No test is done to see that ``x`` doesn't clash with an existing 

        symbol, so using the default (``lambda``) or your own Dummy symbol is 

        the safest option: 

 

        >>> A = Matrix([[1, 2], [x, 0]]) 

        >>> A.charpoly().as_expr() 

        _lambda**2 - _lambda - 2*x 

        >>> A.charpoly(x).as_expr() 

        x**2 - 3*x 

 

        See Also 

        ======== 

 

        berkowitz 

        """ 

        return PurePoly(list(map(simplify, self.berkowitz()[-1])), x) 

 

    charpoly = berkowitz_charpoly 

 

    def berkowitz_eigenvals(self, **flags): 

        """Computes eigenvalues of a Matrix using Berkowitz method. 

 

        See Also 

        ======== 

 

        berkowitz 

        """ 

        return roots(self.berkowitz_charpoly(Dummy('x')), **flags) 

 

    def eigenvals(self, **flags): 

        """Return eigen values using the berkowitz_eigenvals routine. 

 

        Since the roots routine doesn't always work well with Floats, 

        they will be replaced with Rationals before calling that 

        routine. If this is not desired, set flag ``rational`` to False. 

        """ 

        # roots doesn't like Floats, so replace them with Rationals 

        # unless the nsimplify flag indicates that this has already 

        # been done, e.g. in eigenvects 

        mat = self 

        if flags.pop('rational', True): 

            if any(v.has(Float) for v in mat): 

                mat = mat._new(mat.rows, mat.cols, 

                    [nsimplify(v, rational=True) for v in mat]) 

 

        flags.pop('simplify', None)  # pop unsupported flag 

        return mat.berkowitz_eigenvals(**flags) 

 

    def eigenvects(self, **flags): 

        """Return list of triples (eigenval, multiplicity, basis). 

 

        The flag ``simplify`` has two effects: 

            1) if bool(simplify) is True, as_content_primitive() 

            will be used to tidy up normalization artifacts; 

            2) if nullspace needs simplification to compute the 

            basis, the simplify flag will be passed on to the 

            nullspace routine which will interpret it there. 

 

        If the matrix contains any Floats, they will be changed to Rationals 

        for computation purposes, but the answers will be returned after being 

        evaluated with evalf. If it is desired to removed small imaginary 

        portions during the evalf step, pass a value for the ``chop`` flag. 

        """ 

        from sympy.matrices import eye 

 

        simplify = flags.get('simplify', True) 

        primitive = bool(flags.get('simplify', False)) 

        chop = flags.pop('chop', False) 

 

        flags.pop('multiple', None)  # remove this if it's there 

 

        # roots doesn't like Floats, so replace them with Rationals 

        float = False 

        mat = self 

        if any(v.has(Float) for v in self): 

            float = True 

            mat = mat._new(mat.rows, mat.cols, [nsimplify( 

                v, rational=True) for v in mat]) 

            flags['rational'] = False  # to tell eigenvals not to do this 

 

        out, vlist = [], mat.eigenvals(**flags) 

        vlist = list(vlist.items()) 

        vlist.sort(key=default_sort_key) 

        flags.pop('rational', None) 

 

        for r, k in vlist: 

            tmp = mat.as_mutable() - eye(mat.rows)*r 

            basis = tmp.nullspace() 

            # whether tmp.is_symbolic() is True or False, it is possible that 

            # the basis will come back as [] in which case simplification is 

            # necessary. 

            if not basis: 

                # The nullspace routine failed, try it again with simplification 

                basis = tmp.nullspace(simplify=simplify) 

                if not basis: 

                    raise NotImplementedError( 

                        "Can't evaluate eigenvector for eigenvalue %s" % r) 

            if primitive: 

                # the relationship A*e = lambda*e will still hold if we change the 

                # eigenvector; so if simplify is True we tidy up any normalization 

                # artifacts with as_content_primtive (default) and remove any pure Integer 

                # denominators. 

                l = 1 

                for i, b in enumerate(basis[0]): 

                    c, p = signsimp(b).as_content_primitive() 

                    if c is not S.One: 

                        b = c*p 

                        l = ilcm(l, c.q) 

                    basis[0][i] = b 

                if l != 1: 

                    basis[0] *= l 

            if float: 

                out.append((r.evalf(chop=chop), k, [ 

                           mat._new(b).evalf(chop=chop) for b in basis])) 

            else: 

                out.append((r, k, [mat._new(b) for b in basis])) 

        return out 

 

    def singular_values(self): 

        """Compute the singular values of a Matrix 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, Symbol 

        >>> x = Symbol('x', real=True) 

        >>> A = Matrix([[0, 1, 0], [0, x, 0], [-1, 0, 0]]) 

        >>> A.singular_values() 

        [sqrt(x**2 + 1), 1, 0] 

 

        See Also 

        ======== 

 

        condition_number 

        """ 

        mat = self.as_mutable() 

        # Compute eigenvalues of A.H A 

        valmultpairs = (mat.H*mat).eigenvals() 

 

        # Expands result from eigenvals into a simple list 

        vals = [] 

        for k, v in valmultpairs.items(): 

            vals += [sqrt(k)]*v  # dangerous! same k in several spots! 

        # sort them in descending order 

        vals.sort(reverse=True, key=default_sort_key) 

 

        return vals 

 

    def condition_number(self): 

        """Returns the condition number of a matrix. 

 

        This is the maximum singular value divided by the minimum singular value 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, S 

        >>> A = Matrix([[1, 0, 0], [0, 10, 0], [0, 0, S.One/10]]) 

        >>> A.condition_number() 

        100 

 

        See Also 

        ======== 

 

        singular_values 

        """ 

 

        singularvalues = self.singular_values() 

        return Max(*singularvalues) / Min(*singularvalues) 

 

    def __getattr__(self, attr): 

        if attr in ('diff', 'integrate', 'limit'): 

            def doit(*args): 

                item_doit = lambda item: getattr(item, attr)(*args) 

                return self.applyfunc(item_doit) 

            return doit 

        else: 

            raise AttributeError( 

                "%s has no attribute %s." % (self.__class__.__name__, attr)) 

 

    def integrate(self, *args): 

        """Integrate each element of the matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> M = Matrix([[x, y], [1, 0]]) 

        >>> M.integrate((x, )) 

        Matrix([ 

        [x**2/2, x*y], 

        [     x,   0]]) 

        >>> M.integrate((x, 0, 2)) 

        Matrix([ 

        [2, 2*y], 

        [2,   0]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        limit 

        diff 

        """ 

        return self._new(self.rows, self.cols, 

                lambda i, j: self[i, j].integrate(*args)) 

 

    def limit(self, *args): 

        """Calculate the limit of each element in the matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> M = Matrix([[x, y], [1, 0]]) 

        >>> M.limit(x, 2) 

        Matrix([ 

        [2, y], 

        [1, 0]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        integrate 

        diff 

        """ 

        return self._new(self.rows, self.cols, 

                lambda i, j: self[i, j].limit(*args)) 

 

    def diff(self, *args): 

        """Calculate the derivative of each element in the matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy.matrices import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> M = Matrix([[x, y], [1, 0]]) 

        >>> M.diff(x) 

        Matrix([ 

        [1, 0], 

        [0, 0]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        integrate 

        limit 

        """ 

        return self._new(self.rows, self.cols, 

                lambda i, j: self[i, j].diff(*args)) 

 

    def vec(self): 

        """Return the Matrix converted into a one column matrix by stacking columns 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m=Matrix([[1, 3], [2, 4]]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 3], 

        [2, 4]]) 

        >>> m.vec() 

        Matrix([ 

        [1], 

        [2], 

        [3], 

        [4]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        vech 

        """ 

        return self.T.reshape(len(self), 1) 

 

    def vech(self, diagonal=True, check_symmetry=True): 

        """Return the unique elements of a symmetric Matrix as a one column matrix 

        by stacking the elements in the lower triangle. 

 

        Arguments: 

        diagonal -- include the diagonal cells of self or not 

        check_symmetry -- checks symmetry of self but not completely reliably 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m=Matrix([[1, 2], [2, 3]]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1, 2], 

        [2, 3]]) 

        >>> m.vech() 

        Matrix([ 

        [1], 

        [2], 

        [3]]) 

        >>> m.vech(diagonal=False) 

        Matrix([[2]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        vec 

        """ 

        from sympy.matrices import zeros 

 

        c = self.cols 

        if c != self.rows: 

            raise ShapeError("Matrix must be square") 

        if check_symmetry: 

            self.simplify() 

            if self != self.transpose(): 

                raise ValueError("Matrix appears to be asymmetric; consider check_symmetry=False") 

        count = 0 

        if diagonal: 

            v = zeros(c*(c + 1) // 2, 1) 

            for j in range(c): 

                for i in range(j, c): 

                    v[count] = self[i, j] 

                    count += 1 

        else: 

            v = zeros(c*(c - 1) // 2, 1) 

            for j in range(c): 

                for i in range(j + 1, c): 

                    v[count] = self[i, j] 

                    count += 1 

        return v 

 

    def get_diag_blocks(self): 

        """Obtains the square sub-matrices on the main diagonal of a square matrix. 

 

        Useful for inverting symbolic matrices or solving systems of 

        linear equations which may be decoupled by having a block diagonal 

        structure. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> from sympy.abc import x, y, z 

        >>> A = Matrix([[1, 3, 0, 0], [y, z*z, 0, 0], [0, 0, x, 0], [0, 0, 0, 0]]) 

        >>> a1, a2, a3 = A.get_diag_blocks() 

        >>> a1 

        Matrix([ 

        [1,    3], 

        [y, z**2]]) 

        >>> a2 

        Matrix([[x]]) 

        >>> a3 

        Matrix([[0]]) 

 

        """ 

        sub_blocks = [] 

 

        def recurse_sub_blocks(M): 

            i = 1 

            while i <= M.shape[0]: 

                if i == 1: 

                    to_the_right = M[0, i:] 

                    to_the_bottom = M[i:, 0] 

                else: 

                    to_the_right = M[:i, i:] 

                    to_the_bottom = M[i:, :i] 

                if any(to_the_right) or any(to_the_bottom): 

                    i += 1 

                    continue 

                else: 

                    sub_blocks.append(M[:i, :i]) 

                    if M.shape == M[:i, :i].shape: 

                        return 

                    else: 

                        recurse_sub_blocks(M[i:, i:]) 

                        return 

        recurse_sub_blocks(self) 

        return sub_blocks 

 

    def diagonalize(self, reals_only=False, sort=False, normalize=False): 

        """ 

        Return (P, D), where D is diagonal and 

 

            D = P^-1 * M * P 

 

        where M is current matrix. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(3, 3, [1, 2, 0, 0, 3, 0, 2, -4, 2]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1,  2, 0], 

        [0,  3, 0], 

        [2, -4, 2]]) 

        >>> (P, D) = m.diagonalize() 

        >>> D 

        Matrix([ 

        [1, 0, 0], 

        [0, 2, 0], 

        [0, 0, 3]]) 

        >>> P 

        Matrix([ 

        [-1, 0, -1], 

        [ 0, 0, -1], 

        [ 2, 1,  2]]) 

        >>> P.inv() * m * P 

        Matrix([ 

        [1, 0, 0], 

        [0, 2, 0], 

        [0, 0, 3]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_diagonal 

        is_diagonalizable 

 

        """ 

        from sympy.matrices import diag 

 

        if not self.is_square: 

            raise NonSquareMatrixError() 

        if not self.is_diagonalizable(reals_only, False): 

            self._diagonalize_clear_subproducts() 

            raise MatrixError("Matrix is not diagonalizable") 

        else: 

            if self._eigenvects is None: 

                self._eigenvects = self.eigenvects(simplify=True) 

            if sort: 

                self._eigenvects.sort(key=default_sort_key) 

                self._eigenvects.reverse() 

            diagvals = [] 

            P = self._new(self.rows, 0, []) 

            for eigenval, multiplicity, vects in self._eigenvects: 

                for k in range(multiplicity): 

                    diagvals.append(eigenval) 

                    vec = vects[k] 

                    if normalize: 

                        vec = vec / vec.norm() 

                    P = P.col_insert(P.cols, vec) 

            D = diag(*diagvals) 

            self._diagonalize_clear_subproducts() 

            return (P, D) 

 

    def is_diagonalizable(self, reals_only=False, clear_subproducts=True): 

        """Check if matrix is diagonalizable. 

 

        If reals_only==True then check that diagonalized matrix consists of the only not complex values. 

 

        Some subproducts could be used further in other methods to avoid double calculations, 

        By default (if clear_subproducts==True) they will be deleted. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(3, 3, [1, 2, 0, 0, 3, 0, 2, -4, 2]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [1,  2, 0], 

        [0,  3, 0], 

        [2, -4, 2]]) 

        >>> m.is_diagonalizable() 

        True 

        >>> m = Matrix(2, 2, [0, 1, 0, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [0, 1], 

        [0, 0]]) 

        >>> m.is_diagonalizable() 

        False 

        >>> m = Matrix(2, 2, [0, 1, -1, 0]) 

        >>> m 

        Matrix([ 

        [ 0, 1], 

        [-1, 0]]) 

        >>> m.is_diagonalizable() 

        True 

        >>> m.is_diagonalizable(True) 

        False 

 

        See Also 

        ======== 

 

        is_diagonal 

        diagonalize 

        """ 

        if not self.is_square: 

            return False 

        res = False 

        self._is_symbolic = self.is_symbolic() 

        self._is_symmetric = self.is_symmetric() 

        self._eigenvects = None 

        self._eigenvects = self.eigenvects(simplify=True) 

        all_iscorrect = True 

        for eigenval, multiplicity, vects in self._eigenvects: 

            if len(vects) != multiplicity: 

                all_iscorrect = False 

                break 

            elif reals_only and not eigenval.is_real: 

                all_iscorrect = False 

                break 

        res = all_iscorrect 

        if clear_subproducts: 

            self._diagonalize_clear_subproducts() 

        return res 

 

    def _diagonalize_clear_subproducts(self): 

        del self._is_symbolic 

        del self._is_symmetric 

        del self._eigenvects 

 

    def jordan_cell(self, eigenval, n): 

        n = int(n) 

        from sympy.matrices import MutableMatrix 

        out = MutableMatrix.zeros(n) 

        for i in range(n-1): 

            out[i, i] = eigenval 

            out[i, i+1] = 1 

        out[n-1, n-1] = eigenval 

        return type(self)(out) 

 

    def _jordan_block_structure(self): 

        # To every eigenvalue may belong `i` blocks with size s(i) 

        # and a chain of generalized eigenvectors 

        # which will be determined by the following computations: 

        # for every eigenvalue we will add a dictionary 

        # containing, for all blocks, the blocksizes and the attached chain vectors 

        # that will eventually be used to form the transformation P 

        jordan_block_structures = {} 

        _eigenvects = self.eigenvects() 

        ev = self.eigenvals() 

        if len(ev) == 0: 

            raise AttributeError("could not compute the eigenvalues") 

        for eigenval, multiplicity, vects in _eigenvects: 

            l_jordan_chains={} 

            geometrical = len(vects) 

            if geometrical == multiplicity: 

                # The Jordan chains have all length 1 and consist of only one vector 

                # which is the eigenvector of course 

                chains = [] 

                for v in vects: 

                    chain=[v] 

                    chains.append(chain) 

                l_jordan_chains[1] = chains 

                jordan_block_structures[eigenval] = l_jordan_chains 

            elif geometrical == 0: 

                raise MatrixError("Matrix has the eigen vector with geometrical multiplicity equal zero.") 

            else: 

                # Up to now we know nothing about the sizes of the blocks of our Jordan matrix. 

                # Note that knowledge of algebraic and geometrical multiplicity 

                # will *NOT* be sufficient to determine this structure. 

                # The blocksize `s` could be defined as the minimal `k` where 

                # `kernel(self-lI)^k = kernel(self-lI)^(k+1)` 

                # The extreme case would be that k = (multiplicity-geometrical+1) 

                # but the blocks could be smaller. 

 

                # Consider for instance the following matrix 

 

                # [2 1 0 0] 

                # [0 2 1 0] 

                # [0 0 2 0] 

                # [0 0 0 2] 

 

                # which coincides with it own Jordan canonical form. 

                # It has only one eigenvalue l=2 of (algebraic) multiplicity=4. 

                # It has two eigenvectors, one belonging to the last row (blocksize 1) 

                # and one being the last part of a jordan chain of length 3 (blocksize of the first block). 

 

                # Note again that it is not not possible to obtain this from the algebraic and geometrical 

                # multiplicity alone. This only gives us an upper limit for the dimension of one of 

                # the subspaces (blocksize of according jordan block) given by 

                # max=(multiplicity-geometrical+1) which is reached for our matrix 

                # but not for 

 

                # [2 1 0 0] 

                # [0 2 0 0] 

                # [0 0 2 1] 

                # [0 0 0 2] 

 

                # although multiplicity=4 and geometrical=2 are the same for this matrix. 

 

                from sympy.matrices import MutableMatrix 

                I = MutableMatrix.eye(self.rows) 

                l = eigenval 

                M = (self-l*I) 

 

                # We will store the matrices `(self-l*I)^k` for further computations 

                # for convenience only we store `Ms[0]=(sefl-lI)^0=I` 

                # so the index is the same as the power for all further Ms entries 

                # We also store the vectors that span these kernels (Ns[0] = []) 

                # and also their dimensions `a_s` 

                # this is mainly done for debugging since the number of blocks of a given size 

                # can be computed from the a_s, in order to check our result which is obtained simpler 

                # by counting the number of Jordan chains for `a` given `s` 

                # `a_0` is `dim(Kernel(Ms[0]) = dim (Kernel(I)) = 0` since `I` is regular 

 

                l_jordan_chains={} 

                chain_vectors=[] 

                Ms = [I] 

                Ns = [[]] 

                a = [0] 

                smax = 0 

                M_new = Ms[-1]*M 

                Ns_new = M_new.nullspace() 

                a_new = len(Ns_new) 

                Ms.append(M_new) 

                Ns.append(Ns_new) 

                while a_new > a[-1]:  # as long as the nullspaces increase compute further powers 

                    a.append(a_new) 

                    M_new = Ms[-1]*M 

                    Ns_new = M_new.nullspace() 

                    a_new=len(Ns_new) 

                    Ms.append(M_new) 

                    Ns.append(Ns_new) 

                    smax += 1 

 

                # We now have `Ms[-1]=((self-l*I)**s)=Z=0`. 

                # We also know the size of the biggest Jordan block 

                # associated with `l` to be `s`. 

                # Now let us proceed with the computation of the associate part of the transformation matrix `P`. 

                # We already know the kernel (=nullspace)  `K_l` of (self-lI) which consists of the 

                # eigenvectors belonging to eigenvalue `l`. 

                # The dimension of this space is the geometric multiplicity of eigenvalue `l`. 

                # For every eigenvector ev out of `K_l`, there exists a subspace that is 

                # spanned by the Jordan chain of ev. The dimension of this subspace is 

                # represented by the length `s` of the Jordan block. 

                # The chain itself is given by `{e_0,..,e_s-1}` where: 

                # `e_k+1 =(self-lI)e_k (*)` 

                # and 

                # `e_s-1=ev` 

                # So it would be possible to start with the already known `ev` and work backwards until one 

                # reaches `e_0`. Unfortunately this can not be done by simply solving system (*) since its matrix 

                # is singular (by definition of the eigenspaces). 

                # This approach would force us a choose in every step the degree of freedom undetermined 

                # by (*). This is difficult to implement with computer algebra systems and also quite inefficient. 

                # We therefore reformulate the problem in terms of nullspaces. 

                # To do so we start from the other end and choose `e0`'s out of 

                # `E=Kernel(self-lI)^s / Kernel(self-lI)^(s-1)` 

                # Note that `Kernel(self-lI)^s = Kernel(Z) = V` (the whole vector space). 

                # So in the first step `s=smax` this restriction turns out to actually restrict nothing at all 

                # and the only remaining condition is to choose vectors in `Kernel(self-lI)^(s-1)`. 

                # Subsequently we compute `e_1=(self-lI)e_0`, `e_2=(self-lI)*e_1` and so on. 

                # The subspace `E` can have a dimension larger than one. 

                # That means that we have more than one Jordan block of size `s` for the eigenvalue `l` 

                # and as many Jordan chains (this is the case in the second example). 

                # In this case we start as many Jordan chains and have as many blocks of size `s` in the jcf. 

                # We now have all the Jordan blocks of size `s` but there might be others attached to the same 

                # eigenvalue that are smaller. 

                # So we will do the same procedure also for `s-1` and so on until 1 (the lowest possible order 

                # where the Jordan chain is of length 1 and just represented by the eigenvector). 

 

                for s in reversed(range(1, smax+1)): 

                    S = Ms[s] 

                    # We want the vectors in `Kernel((self-lI)^s)` (**), 

                    # but without those in `Kernel(self-lI)^s-1` so we will add these as additional equations 

                    # to the system formed by `S` (`S` will no longer be quadratic but this does no harm 

                    # since `S` is rank deficient). 

                    exclude_vectors = Ns[s-1] 

                    for k in range(0, a[s-1]): 

                        S = S.col_join((exclude_vectors[k]).adjoint()) 

                    # We also want to exclude the vectors in the chains for the bigger blocks 

                    # that we have already computed (if there are any). 

                    # (That is why we start with the biggest s). 

 

                    ########   Implementation remark:   ######## 

 

                    # Doing so for *ALL* already computed chain vectors 

                    # we actually exclude some vectors twice because they are already excluded 

                    # by the condition (**). 

                    # This happens if there are more than one blocks attached to the same eigenvalue *AND* 

                    # the current blocksize is smaller than the block whose chain vectors we exclude. 

                    # If the current block has size `s_i` and the next bigger block has size `s_i-1` then 

                    # the first `s_i-s_i-1` chainvectors of the bigger block are already excluded by (**). 

                    # The unnecassary adding of these equations could be avoided if the algorithm would 

                    # take into account the lengths of the already computed chains which are already stored 

                    # and add only the last `s` items. 

                    # However the following loop would be a good deal more nested to do so. 

                    # Since adding a linear dependent equation does not change the result, 

                    # it can harm only in terms of efficiency. 

                    # So to be sure I left it there for the moment. 

 

                    l = len(chain_vectors) 

                    if l > 0: 

                        for k in range(0, l): 

                            old = chain_vectors[k].adjoint() 

                            S = S.col_join(old) 

                    e0s = S.nullspace() 

                    # Determine the number of chain leaders which equals the number of blocks with that size. 

                    n_e0 = len(e0s) 

                    s_chains = [] 

                    # s_cells=[] 

                    for i in range(0, n_e0): 

                        chain=[e0s[i]] 

                        for k in range(1, s): 

                            v = M*chain[k-1] 

                            chain.append(v) 

 

                        # We want the chain leader appear as the last of the block. 

                        chain.reverse() 

                        chain_vectors += chain 

                        s_chains.append(chain) 

                    l_jordan_chains[s] = s_chains 

            jordan_block_structures[eigenval] = l_jordan_chains 

        return jordan_block_structures 

 

    def jordan_form(self, calc_transformation=True): 

        r"""Return Jordan form J of current matrix. 

 

        Also the transformation P such that 

 

            `J = P^{-1} \cdot M \cdot P` 

 

        and the jordan blocks forming J 

        will be calculated. 

 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix([ 

        ...        [ 6,  5, -2, -3], 

        ...        [-3, -1,  3,  3], 

        ...        [ 2,  1, -2, -3], 

        ...        [-1,  1,  5,  5]]) 

        >>> P, J = m.jordan_form() 

        >>> J 

        Matrix([ 

        [2, 1, 0, 0], 

        [0, 2, 0, 0], 

        [0, 0, 2, 1], 

        [0, 0, 0, 2]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        jordan_cells 

        """ 

        P, Jcells = self.jordan_cells() 

        from sympy.matrices import diag 

        J = diag(*Jcells) 

        return P, type(self)(J) 

 

    def jordan_cells(self, calc_transformation=True): 

        r"""Return a list of Jordan cells of current matrix. 

        This list shape Jordan matrix J. 

 

        If calc_transformation is specified as False, then transformation P such that 

 

              `J = P^{-1} \cdot M \cdot P` 

 

        will not be calculated. 

 

        Notes 

        ===== 

 

        Calculation of transformation P is not implemented yet. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix 

        >>> m = Matrix(4, 4, [ 

        ...  6,  5, -2, -3, 

        ... -3, -1,  3,  3, 

        ...  2,  1, -2, -3, 

        ... -1,  1,  5,  5]) 

 

        >>> P, Jcells = m.jordan_cells() 

        >>> Jcells[0] 

        Matrix([ 

        [2, 1], 

        [0, 2]]) 

        >>> Jcells[1] 

        Matrix([ 

        [2, 1], 

        [0, 2]]) 

 

        See Also 

        ======== 

 

        jordan_form 

        """ 

        n = self.rows 

        Jcells = [] 

        Pcols_new = [] 

        jordan_block_structures = self._jordan_block_structure() 

        from sympy.matrices import MutableMatrix 

 

        # Order according to default_sort_key, this makes sure the order is the same as in .diagonalize(): 

        for eigenval in (sorted(list(jordan_block_structures.keys()), key=default_sort_key)): 

            l_jordan_chains = jordan_block_structures[eigenval] 

            for s in reversed(sorted((l_jordan_chains).keys())):  # Start with the biggest block 

                s_chains = l_jordan_chains[s] 

                block = self.jordan_cell(eigenval, s) 

                number_of_s_chains=len(s_chains) 

                for i in range(0, number_of_s_chains): 

                    Jcells.append(type(self)(block)) 

                    chain_vectors = s_chains[i] 

                    lc = len(chain_vectors) 

                    assert lc == s 

                    for j in range(0, lc): 

                        generalized_eigen_vector = chain_vectors[j] 

                        Pcols_new.append(generalized_eigen_vector) 

        P = MutableMatrix.zeros(n) 

        for j in range(0, n): 

            P[:, j] = Pcols_new[j] 

 

        return type(self)(P), Jcells 

 

    def _jordan_split(self, algebraical, geometrical): 

        """Return a list of integers with sum equal to 'algebraical' 

        and length equal to 'geometrical'""" 

        n1 = algebraical // geometrical 

        res = [n1]*geometrical 

        res[len(res) - 1] += algebraical % geometrical 

        assert sum(res) == algebraical 

        return res 

 

    def has(self, *patterns): 

        """Test whether any subexpression matches any of the patterns. 

 

        Examples 

        ======== 

 

        >>> from sympy import Matrix, Float 

        >>> from sympy.abc import x, y 

        >>> A = Matrix(((1, x), (0.2, 3))) 

        >>> A.has(x) 

        True 

        >>> A.has(y) 

        False 

        >>> A.has(Float) 

        True 

        """ 

        return any(a.has(*patterns) for a in self._mat) 

 

    def dual(self): 

        """Returns the dual of a matrix, which is: 

 

        `(1/2)*levicivita(i, j, k, l)*M(k, l)` summed over indices `k` and `l` 

 

        Since the levicivita method is anti_symmetric for any pairwise 

        exchange of indices, the dual of a symmetric matrix is the zero 

        matrix. Strictly speaking the dual defined here assumes that the 

        'matrix' `M` is a contravariant anti_symmetric second rank tensor, 

        so that the dual is a covariant second rank tensor. 

 

        """ 

        from sympy import LeviCivita 

        from sympy.matrices import zeros 

 

        M, n = self[:, :], self.rows 

        work = zeros(n) 

        if self.is_symmetric(): 

            return work 

 

        for i in range(1, n): 

            for j in range(1, n): 

                acum = 0 

                for k in range(1, n): 

                    acum += LeviCivita(i, j, 0, k)*M[0, k] 

                work[i, j] = acum 

                work[j, i] = -acum 

 

        for l in range(1, n): 

            acum = 0 

            for a in range(1, n): 

                for b in range(1, n): 

                    acum += LeviCivita(0, l, a, b)*M[a, b] 

            acum /= 2 

            work[0, l] = -acum 

            work[l, 0] = acum